Extensiones de campo lineal discontinuo

Question

Recordar que si $k$ es un campo, el campo de las extensiones $K_1/k$,..., $K_n/k$ se denomina linealmente disjuntos si el producto tensor $K_1\otimes_k\cdots \otimes_k K_n$ es un campo.

Deje $\zeta_5$ ser un pritive quinta raíz de $1$. Me gustaría mostrar que las tres extensiones de campo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$, $\mathbb{Q}(\sqrt{3})/\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Q}(\zeta_5)/\mathbb{Q}$ son linealmente disjuntos $\mathbb{Q}$.

La declaración parece muy natural para mí, ya que el único que no trivial subextension de $\mathbb{Q}(\zeta_5)/\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}(\sqrt{5})/\mathbb{Q}$ y desde el campo de las extensiones $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}(\sqrt{3})/\mathbb{Q}$ son claramente linealmente disjuntos. Sin embargo, me gustaría un poco de ayuda para comprobar esta afirmación.

Answer 1

Considerar el $f(t) = t^4 + t^3 + t^2 + t + 1$. Está claro que $\mathbb{Q}(\sqrt 2) \otimes_\mathbb{Q} \mathbb{Q}(\sqrt 3) = \mathbb{Q}(\sqrt 2, \sqrt 3)$. Ahora $$ \mathbb{Q}(\zeta5) \mathbb{Q}(\sqrt 2) \otimes\mathbb{Q} \mathbb{Q}(\sqrt 3) \otimes\mathbb{Q} = \mathbb{Q}(\sqrt 2, \sqrt 3) \otimes\mathbb{Q} \mathbb{Q}[t]/(f(t)) = \mathbb{Q}(\sqrt 2, \sqrt 3)[t]/(f(t)). $$ Por lo que basta para demostrar que el polinomio $f(t)$ es irreducible en $\mathbb{Q}(\sqrt 2, \sqrt 3)$.