Sumas infinitas de poder recíproco: $\sum\frac1{n^{2}}$ sobre números enteros impares

Question

La serie infinita que necesito resolver es $$\sum_{n=1,3,5...}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$ $

y porque el punto de interés radica en el valor de n impar,

la serie infinita se puede expresar como

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}$$

Esto ocurrió en un problema de la mecánica cuántica con el valor de la expectativa del hamiltoniano.

¿Hay una buena idea para comprobar que la solución es $$\frac{\pi^{2}}{8}$ $ o es algo que tengo que referirme a una tabla de matemáticas? Cualquier idea buena sería útil.

Answer 1

Considerar $$\sum{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\sum{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^{2}}+\sum{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}=\frac{1}4\sum{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}+\sum{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}$$ So $% $ $\sum{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}=\frac{3}4 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{3}4 \times\frac{\pi ^2}{6}=\frac{\pi ^2}{8}$

Answer 2

Tenemos $$ \sum{n=1}^\infty \frac 1{n^2} = \frac{\pi^2}6 \tag+$ $ por lo tanto, la suma de números pares a $$ \sum{n=1}^\infty \frac 1{(2n)^2} = \frac 14 \sum{n=1}^\infty \frac 1{n^2} = \frac{\pi^2}{24} $ $ por lo tanto, la diferencia es % $ $$\sum{n=1}^\infty \frac 1{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}6 - \frac{\pi^2}{24} = \frac{\pi^2}8 $el hecho de que $(+)$ sostiene, es "bien sabido", por lo tanto, tal vez algo podría referir a (buscando en una tabla), o usted calcular % $ $$ \int_0^1 \int0^1 \frac 1{1- xy}\, dy\,dx $de dos maneras, ampliando $\frac 1{1-xy} = \sum{n=0}^\infty (xy)^n$ da $$ \int{[0,1]^2} \frac{1}{1-xy} \, d(x,y) = \sum{n=1}^\infty \frac 1{n^2}$ $ en el otro de la mano, que $u = \frac 12(x+y)$, $v= \frac 12(y-x)$, entonces \begin{align} \int_{[0,1]^2} \frac 1{1-xy}\, d(x,y) &= 4 \int_0^{1/2}\int0^u \frac 1{1 - u^2+ v^2} \,dv \, du + 4 \int{1/2}^1 \int_0^{1-u} \frac1{1 - u^2 + v^2}\, dv\, du\ &= \frac{\pi^2}6 \end{align}

Answer 3

mediante el uso de $$\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...$ $

$$\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+..\frac{1}{2^2}(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...)$$ $$\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+..\frac{1}{2^2}(\frac{\pi^2}{6})$$ $$\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^2}{24}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+..$$ $$\frac{\pi^2}{8}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+..$$

Answer 4

Podemos usar el teorema del residuo:

$$\sum{n=1}^{\infty} \frac1{(2 n-1)^2} = \frac12 \sum{n=-\infty}^{\infty} \frac1{(2 n-1)^2} = -\frac{\pi}{2} \operatorname*{Res}_{z=1/2} \frac{\cot{\pi z}}{(2 z-1)^2} = \frac{\pi^2}{8 \sin^2{(\pi/2)}} = \frac{\pi^2}{8}$$

Answer 5

El uso de $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ (echad un vistazo a esta pregunta histórica) es una forma rápida de ir, pero un montón de enfoques son posibles. Una de Euler-estilo de la prueba de la siguiente manera.

Paso 1. La función de $f(x)=\cos(\pi x)$ es una función toda habiendo simple raíces en $\mathbb{Z}+\frac{1}{2}$.

Paso 2. El Mittag-Leffler teorema da la Weierstrass producto: $$ \cos(\pi z) = \prod_{n\geq 0}\left(1-\frac{4z^2}{(2n+1)^2}\right) \tag{2a}$$ donde el lado izquierdo se puede escribir como una serie de Taylor: $$ \cos(\pi z) = 1-\frac{\pi^2 z^2}{2}+\frac{\pi^4 z^4}{24}-\ldots\tag{2b}$$

Paso 3. Al comparar el coeficiente de $z^2$ en el lado derecho de la $(2a)$ y en el lado derecho de la $(2b)$ obtenemos: $$ -\sum_{n\geq 0}\frac{4}{(2n+1)^2} = -\frac{\pi^2}{2}\tag{3} $$ y su reclamo inmediatamente a continuación.