Se me ocurrió el día de hoy que la distribución $$ f(x)\propto\exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right) $$ podría ser visto como un compromiso entre la Gauss y Laplace distribuciones, para $x\in\mathbb{R}, p\in[1,2]$ $\beta>0.$ Hace una distribución tiene un nombre? Y tiene una expresión para su normalización constante? El cálculo de los tocones de mí, porque no sé cómo empezar a resolver para $C$ en la integral $$ 1=C\cdot \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right) dx $$
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Respuesta Corta
El pdf que usted describe es más apropiadamente conocido como un Subbotin distribución ... ver el documento en 1923 por Subbotin que tiene exactamente la misma forma funcional, con decir $Y = X-\mu$.
- Subbotin, M. T. (1923), En la ley de frecuencia de error, Matematicheskii Sbornik, 31, 296-301.
el que entra en el pdf en su ecuación 5, de la forma:
$$f(y) = K \exp\left[-\left(\frac{|y|}{\sigma}\right)^p\right]$$
con la constante de integración: $K = \large\frac{p}{2 \sigma \Gamma \left(\frac{1}{p}\right)}$, como por Xian derivación donde $\beta = \sigma^p$
Respuesta larga
Wikipedia es, lamentablemente, no siempre 'hasta la fecha', o precisa, o a veces de apenas 80 años, por detrás de los tiempos. Después de Subbotin (1923), la distribución ha sido ampliamente utilizado en la literatura, incluyendo:
Diananda, P. H. (1949), tenga en cuenta algunas de las propiedades de un máximo de estimaciones de probabilidad, Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge, 45, 536-544.
Turner, M. E. (1960), En la heurística de los métodos de estimación, Biometría, 16(2), 299-301.
Zeckhauser, R. y fernández, M. (1970), la regresión Lineal con los no-normal de los términos de error, La revista de Economía y Estadística, 52, 280-286.
McDonald, J. B. y Newey, W. K. (1988), Parcialmente de adaptación de la estimación de modelos de regresión a través de la generalización de la distribución t, Econométricos Teoría, 4, 428-457.
Johnson, N. L., Kotz, S. y Balakrishnan, N. (1995), Continua Univariado de las Distribuciones, volumen 2, 2ª edición, Wiley, Nueva York (1995, pág.422)
Mineo, A. M. y Ruggieri, M. (2005), Una herramienta de software para la Exponencial de distribución de Energía: la normalp paquete, Revista de Software Estadístico, 12(4), 1-21.
... todo antes de que el trabajo que se hace referencia en el Wiki. Aparte de ser de los 80 años de la fecha, el nombre que se utiliza en la Wiki 'Generalizado de los Normales", también parece inapropiada, ya que hay una infinidad de distribuciones que son generalizaciones de la Normal, y el nombre es, en cualquier caso, la ambigüedad de la literatura. Tampoco reconoce el autor original.
Lev
Puntos
2212
Por razones obvias, usted puede deshacerse de la μ y β así que todo lo que queda es $$\int_0^\infty \exp\{−x^p\}\text{d}x\stackrel{y=x^p}{=}\int_0^\infty \exp\{−i\}\left|\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y}\right|\text{d}y\stackrel{x=y^{1/p}}{=}\int_0^\infty \exp\{−i\}\frac{1}{p}y^{\frac{1}{p}-1}\text{d}y=\Gamma(1/p)\frac{1}{p} $$ Por lo tanto $$\int_{-\infty}^\infty \exp\{−\beta^{-1}|x-\mu|^p\}\text{d}x=\dfrac{2\Gamma(1/p)}{p}\beta^{1/p}$$
SHU
Puntos
18
De acuerdo a Wikipedia, esto se conoce como Generalizada de la distribución normal (versión 1 en el artículo), y la restricción $p\in [1,2]$ no es necesario, pero cualquier valor positivo está muy bien.
La referencia dada en Wikipedia es Saralees Nadarajah (2005) Una generalización de la distribución normal, Diario de Estadística aplicada, 32:7, 685-694, DOI: 10.1080/02664760500079464. En este artículo se menciona que la normalización se encuentra la constante por integración simple' - supongo siguientes Xi'an de la respuesta.
