El differentiability de cierta función

Question

Deje $f(x)$ ser reales-valores de función continua en la línea real de satisfacciones $$\sup_{y \in \mathbb{R}}\textrm{ card}(f^{-1}(\{y\}))<\infty$$ donde la tarjeta denota la cardinalidad del conjunto. Esto significa que existe cierta $N \in \mathbb{N}$ tal que $f^{-1}(\{y\})$ contiene en la mayoría de las $N$ elementos para cada $y \in \mathbb{R}$. Ahora quiero mostrarles $f'$ existe en casi todas partes (con respecto a la canónica de la medida de Lebesgue en la recta real).

Supongo que el conjunto que contiene los puntos que no se pueden diferenciar debe ser en la mayoría de los contables, pero no tienen idea de por dónde empezar. Cualquier sugerencia será muy apreciada!

Answer 1

La función de $N(f,y):=\operatorname{card}(f^{-1}(\{y\}))$ se llama una de Banach indicatrix. Hay una buena respuesta a la pregunta relacionada con la. El uso de sus resultados, sabemos que $N(f,\cdot)$ es medible, pero a partir de la asunción $N(f,\cdot)$ es uniformemente acotada, por lo tanto integrable. De la misma respuesta llegamos a la conclusión de que $f$ es de variación acotada, por lo tanto derivable en casi todas partes.