Es la varianza cóncava?

Question

Permita que$X$ sea una variable aleatoria discreta con valores en el conjunto$\{x_1,\ldots, x_n\}\subset\mathbb{R}$. Denote por$p_i$ la probabilidad de que$X=x_i$. Entonces podemos considerar la varianza$Var(X)$ como una función del vector$p\in \Delta^{n-1}\subseteq\mathbb{R}^n$.

Mi pregunta es: ¿será una función cóncava de$p$? Con$n=2$, obtenemos$Var(X)=p_1p_2(x_1-x_2)^2=p_1(1-p_1)(x_1-x_2)^2$ que es cóncavo. Sin embargo, no estoy seguro de cómo generalizar esto más allá de dos dimensiones.

Answer 1

Tenemos $\mathrm{var}_p\left(X\right)=\mathbb{E}_p\left[X^2\right]-\mathbb{E}p\left[X\right]^2$. Además, $\lambda\in\left[0,1\right]$ podemos escribir $$\mathbb{E}{\lambda p+(1-\lambda)q}\left[X^2\right]=\lambda\mathbb{E}_p\left[X^2\right]+(1-\lambda)\mathbb{E}_q\left[X^2\right].$$ Convexity of $\left (\cdot\right) ^ 2$ and Jensen's inequality then yield $% $ $\lambda \mathbb{E}_p\left[X\right]^2+(1-\lambda) \mathbb{E}_q\left[X\right]^2\geq \left(\lambda\mathbb{E}_p\left[X\right]+(1-\lambda)\mathbb{E}q\left[X\right]\right)^2=\mathbb{E}{\lambda p+(1-\lambda)q}\left[X\right]^2.$

Así deducimos $$\mathrm{var}{\lambda p+(1-\lambda)q}\left(X\right)=\mathbb{E}{\lambda p+(1-\lambda)q}\left[X^2\right]-\mathbb{E}_{\lambda p+(1-\lambda)q}\left[X\right]^2\\geq\lambda\mathrm{var}_p\left(X\right)+(1-\lambda)\mathrm{var}_q\left(X\right),$ $ que significa que la varianza es cóncavo.