¿Por qué todo se multiplica por nueve cuando se agregan los dígitos, el resultado es nueve?

Question

¿Por qué cada vez que multiplicas un número por nueve, los dígitos del resultado siempre suman nueve? Ejemplo:

9 * 7 = 63; // 6 + 3 = 9
9 * 35 = 315; // 3 + 1 + 5 = 9

Answer 1

Hay un conocido de divisibilidad de la prueba de que un número es divisble por $9$ si y sólo si $9$ divide la suma de sus dígitos.

Mediante la multiplicación de un número con $9$, se lo que es un múltiplo de a $9$, y por lo tanto la suma de sus dígitos debe ser divisible por $9$. Ya que se puede recorrer el dígito adición de proceso hasta llegar a un solo dígito número, el resultado debe ser divisible por $9$.

Los dos únicos números de un solo dígito divisible por $9$$0$$9$, y nunca lo vas a conseguir $0$ (bueno, a menos que su número original fue de 0 :) ).

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Algo similar funciona para $3$, pero no es tan agradable. Si se multiplica un número por 3 y, a continuación, recorrer el dígito adición de proceso hasta que haya un dígito, entonces usted va a terminar con $3,6$ o $9$. La razón es la misma: un número es divisble por 3 si y sólo si la suma de sus dígitos es. Sin embargo esta vez, al llegar a un solo dígito, hay más de una alternativa que puede llegar.

Answer 2

Comience con$$9\cdot n= 9\sum_{k=0}^\infty a_k10^k=9(a_010^0+a_110^1+a_210^2+\cdots)=9a_010^0+9a_110^1+9a_210^2+\cdots$ $

Entonces, la representación decimal de$9c$ es$\left[c-1,10-c\right]$, si$c>0$.

Así que si $9a_k10^k=(a_k-1)10^{k+1}+(10-a_k)10^k$. Agregar todos los dígitos del prodcut dará

$$ \ sum (a_k-1) + (10-a_k) = \ sum a_k-1 +10-a_k = \ sum 9. $$

Answer 3

Permita que$p(x)$ sea un polinomio,$r\in\mathbb{R}$. Definir$q(x) := p(x)-p(r)$. Como$q(r) = 0$, podemos escribir$q(x) = s(x)(x-r)$ para algunos polinomios$s(x)$. Esto rinde

$$ p (x) -p (r) = s (x) (xr) \\ \ iff p (x) / (xr) = s (x) + p (r) / (xr) $$

Ahora, dado cualquier número$n\in\mathbb{N}$, hay un polinomio$p_n(x)$, tal que$p_n(10) = n$. Por lo tanto

ps

Por lo tanto, 9 divide$$ n/9 = p_n(10)/(10-1) = s_n(10) + p_n(1)/9$% si y solo si 9 divide$n=p(10)$, que es la suma de todos los dígitos de$p_n(1)$.