Un ideal es un módulo proyectivo finito generado a través de una secuencia exacta de split

Question

<blockquote> <p>Que $I$ sea un ideal de $R$ tal que el % de asignación $f:I\otimes_R\operatorname{Hom}_R (I,R)→R$definido (en generadores) $f(i\otimes α)=α(i)$ % todo $i∈I$y $α∈\operatorname{Hom}_R (I,R)$ es a. Muestran que $I$ es un finito generado proyectivo $R$-módulo.</p> </blockquote> <p>Aquí le damos la sugerencia me ha dado: mostrar que hay un % de la secuencia exacta de split $0→K→F→I→0$, donde $F$ es un finito generado gratis $R$-módulo.</p> <p>Cualquier ayuda es apreciada, gracias mucho.</p>

Answer 1

La suprayectividad de la evaluación mapa $\mathrm{Hom}_R(I,R)\otimes_R I\to R$, usted puede encontrar $R$-mapas lineares #% elementos y $\alpha_1,\dots,\alpha_m:I\to R$ #% tal que % $ $i_1,\dots,i_m\in I$considerar el mapa $$\alpha_1(i_1)+\cdots+\alpha_m(i_m)=1$. Este mapa es sobreyectiva. De hecho, escriba $\phi:R^{\oplus m}\to I,(r_1,\dots,r_m)\mapsto r_1i_1+\cdots+r_mi_m$ $\rho_k=\alpha_k(ik)$. Entonces, si $k=1,\dots,m$, $i\in I$ $ esto además demuestra ese % $ $$i=i\cdot 1=\sum{k=1}^m i\rhok=\sum{k=1}^m i\alpha_k(ik)=\sum{k=1}^m \alpha_k(i)i_k=\phi(\alpha_1(i),\dots,\alpha_m(i))$es una división: $$\psi=(\alpha_1,\dots,\alpha_m):I\to R^{\oplus m}$.