Adoptando la sugerencia de @Winther, sustituir $q=p/M$ y escribir $R=Mr$ por lo que la integral que buscamos es $$ I(R) = \int_0^{\infty} e^{-2q^2} \frac{\sin{Rq}}{q} \frac{dq}{1+q^2}. $$ Entonces $$ -I'''(R) + I'(R) = \int_0^{\infty} e^{-2q^2} \cos{Rq} \, dq \tag{1} $$
La integral de la derecha puede hacerse por los métodos habituales (más diferenciación bajo el signo de la integral, por ejemplo, o completando el cuadrado, etc.) para dar $ \sqrt{\frac{\pi}{8}} e^{-R^2/8} $ . Integración de $0$ a $R$ , $I''(0)=I(0)=0$ Así que $$ -I''(R)+I(R) = \frac{\pi}{2} \operatorname{erf}{\left( R/\sqrt{8} \right)} $$
Una base de soluciones viene dada por $ u_1(R) = e^R $ y $u_2(R) = e^{-R}$ por lo que el Wronskian es -2, y la variación de los parámetros da $$ I(R) = \int_0^R \frac{1}{2}(-e^{R-r}+e^{r-R}) \frac{\pi}{2} \operatorname{erf}{\left( r/\sqrt{8} \right)} \, dr + A\sinh{R} \\ = -\frac{\pi}{2}\int_0^R \sinh{(R-r)} \operatorname{erf}{\left( r/\sqrt{8} \right)} \, dr + A\sinh{R} $$
$$ A=I'(0) = \int_0^{\infty} \frac{e^{-2q^2}}{1+q^2} \, dq = \frac{e^2\pi}{2}(1-\operatorname{erf}(\sqrt{2})) $$ (esto se puede calcular utilizando la parametrización de Schwinger, por ejemplo).
La integral final se puede hacer usando la integración por partes repetidamente (o intercambiando el orden de integración), y terminamos con la respuesta final $$ I(R) = \frac{e^2\pi}{4} \sinh{R} -\frac{e^2\pi}{4} e^{-R} \operatorname{erf}\left(\frac{R-4}{\sqrt{8}}\right)+\frac{\pi}{2} \operatorname{erf}\left(\frac{R}{\sqrt{8}}\right)-\frac{e^2\pi}{4} e^{R} \operatorname{erf}\left(\frac{R+4}{\sqrt{8}}\right) $$
Editado para añadir: Se puede encontrar la ecuación diferencial de la siguiente manera: observe que $$ \frac{d}{dR} \sin{Rq} = q\cos{Rq}, $$ por lo que una diferenciación bajo el signo integral se deshace de la $q^{-1}$ . Todavía no me apetecía mucho evaluar $$ I'(R) = \int_0^{\infty} e^{-2q^2} \cos{Rq} \frac{dq}{1+q^2}, $$ así que usé eso $$ \left( -\frac{d^2}{dR^2} + 1 \right) \cos{Rq} = (q^2+1)\cos{Rq} $$ para deshacerse del $\frac{1}{1+q^2}$ que da la ecuación (1).
Ahora, para evaluar $$ J = \int_0^{\infty} e^{-2q^2} \cos{Rq} \, dq = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2q^2} e^{iRq} \, dq, $$ podríamos buscar en una tabla de transformadas de Fourier, o completar el cuadrado: $$ -2q^2 + iRq = -2\left( q - \frac{iR}{4} \right)^2 - \frac{R^2}{8}, $$ y entonces tenemos una integral gaussiana estándar de tiempos $e^{-R^2/8}$ . (Por supuesto, tenemos que desplazar el contorno de integración hacia la línea real).
