Integración con i

Question

¿Por qué no funciona este enfoque de la integración? Si hay una integral $1/\sqrt{a^2-x^2}$ la respuesta es $\arcsin(x/a)$ . Pero si la integral es $1/\sqrt{x^2-a^2}$ entonces es $\log(x+\sqrt{x^2-a^2})$ .

Mi pregunta es, ¿por qué no podemos tomar $i=\sqrt{-1}$ e integrar como en el primer caso para obtener la respuesta como $-i \arcsin(x/a)$ ?

Answer 1

Dejemos que $x=a\cosh A,$

$\implies \cos (iA)=\frac xa\implies iA=\arccos\frac xa=\frac\pi2-\arcsin\frac xa$

$\implies\ln(x+\sqrt{x^2-a^2})$

$=\ln|a|+\ln(\cosh A+\sinh A)$

$=\ln|a|+\ln(e^A)$

$=\ln|a|+A$

$=\ln|a|+i(\frac\pi2-\arcsin\frac xa)$

$=-i\arcsin \frac xa+K$ donde $K=\ln|a|+i\frac\pi2$ que es contante