¿Cómo solucionar no homogéneo Oda con condiciones de límite?

Question

Estoy tratando de resolver esta oda:

$$y''-2xy'+3y=x^3 $$

Con las condiciones:

$$\lim{x\to\pm\infty}e^{-x^2/2}y(x)=\lim{x\to \pm\infty}e^{-x^2/2}y'(x)=0$$

La parte homogénea es ecuación de Hermite remanentes $n$.

He intentado multiplicando por la exponencial y tomar el límite:

$$\lim_{x\to\pm\infty} \left( e^{-x^2/2}y'' - 2e^{-x^2/2}xy'= e^{-x^2/2}x^3\right)$$

Pero creo que esto conduce a ninguna parte. Me dijeron que debo utilizar la función generatriz: $g(x,t)=e^{-x^2+2tx}$, que no veo cómo podría ser útil.

Entonces, ¿Dónde está el truco?

Le agradeceria unos consejos.

Answer 1

Sugerencia: Un polinomio sería una solución? Además, ¿qué las condiciones extras dice la parte homogénea de la solución?

Answer 2

Sugerencia:

Que $y=u+ax^3+bx^2+cx+d$,

Entonces $y'=u'+3ax^2+2bx+c$

$y''=u''+6ax+2b$

$\therefore u''+6ax+2b-2x(u'+3ax^2+2bx+c)+3(u+ax^3+bx^2+cx+d)=x^3$

$u''+6ax+2b-2xu'-6ax^3-4bx^2-2cx+3u+3ax^3+3bx^2+3cx+3d=x^3$

$u''-2xu'+3u-(3a+1)x^3-bx^2+(6a+c)x+2b+3d=0$

$\therefore$ % Tomando $a=-\dfrac{1}{3}$, $b=0$, $c=2$ y $d=0$, tenemos $u''-2xu'+3u=0$