Elementos invertibles a la izquierda de un monoide

Question

En general, es cierto que el conjunto de todos los elementos invertibles de un Monoide forma un subgrupo. La prueba es trivial.

Sin embargo, después de pensarlo un poco, creo que si restringimos invertible a izquierda o derecha, solo invertible, entonces no forma un grupo. Parece que sí porque no puedo imaginar una manera de demostrar lo contrario.

Estoy buscando ejemplos de Monoides cuyos elementos invertibles izquierdos no forman un subgrupo o prueba de que sí forman un grupo.

Answer 1

Tomar el espacio de $V$ de los polinomios en la $x$ sobre los reales (cualquier otro campo también funcionaría). Veamos el monoid $End(V)$.

Derivación de w.r.t. $x$, se $D$, es un endomorfismo de $V$. Tiene derecho inversa conseguido por la integración. Más precisamente, si $P(x)$ es un polinomio, vamos a definir $$ I(P):x\mapsto\int_0^xP(t)\,dt. $$

Pero debido a que $D$ no es inyectiva (como $D1=0$) no puede tener una izquierda inversa. Así, el derecho es invertible elementos de $End(V)$ no forman un grupo.

Del mismo modo vemos que $I$ no tiene derecho inversa, porque no es surjective (la constante polinomio no es en su imagen). Así que la izquierda es invertible elementos no forman un grupo cualquiera.

Answer 2

Considerar la bicíclico monoid. Es el cociente de la libre monoid en dos cartas de $a$ $b$ por la relación $ab = 1$. Los elementos de este monoid puede ser escrito como $b^ma^n$ algunos $m, n \geqslant 0$. El producto de tales palabras es dado por $(b^ma^n)(b^pa^q) = b^ra^s$ donde \begin{align} r &= m - n + \max(n,p) = m + p - \min(n,p)\\ s &= q - p + \max(n,p) = n + q - \min(n,p) %\label{bicyclic} \end{align} En particular, $a^nb^n = 1$ y, por tanto, cada elemento de la forma $a^n$ tiene derecho inversa y cada elemento de la forma $b^n$ ha dejado de forma inversa. Sin embargo, el único elemento inversible es $1$.

También puede describir este monoid como $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ con el producto dado por $$ (m, n) (p, q) = (r, s) $$ donde $r$ $s$ dado que el anterior.