Lo que ' s el límite de esta expresión: $\lim\limits_{M \to \infty}1/(\sum_{i=0}^{\infty}\frac{M!}{\left(M+i\right)!}x^{i})$

Question

Tengo una pregunta sobre un límite: asumir $x$ es un positivo verdadero constante $(x>0)$, entonces ¿cuál es el límite de la siguiente expresión? $$ \lim{M\rightarrow\infty}\frac{1}{\sum{i=0}^{\infty}\frac{M!} {\left(M+i\right).} x ^ {i}} $$

¿Esto es dependiente en el valor de $x$? Muchas gracias...

Answer 1

Como $1/x$ es continuo, necesita calcular $$\lim{M\to \infty} \sum{i=0}^{\infty}\frac{M!}{\left(M+i\right)!}x^{i}.$ $ tenemos $$ \frac{1}{M^i} \geq \frac{M!}{(M+i)!} $ $ $x$ independiente. Así, %#% $ $$\frac{M}{M-x}=\sum{i=0}^\infty \frac{1}{M^i} x^i \geq\sum{i=0}^{\infty}\frac{M!}{\left(M+i\right)!}x^{i} .$ #%, encontramos que el límite de la suma es menor o igual a 1% de todos $M\to\infty$.

Para encontrar un límite inferior, sólo tomamos el término correspondiente a $x$ (todos los términos son positivos), y $i=0$ $

Para concluir, tenemos %#% $ #% por lo que su límite es también independiente del 1 $$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{M!}{\left(M+i\right)!}x^{i} \geq 1.$.

Answer 2

La suma puede ser evaluado en forma cerrada: $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{M.}{(M+n)!} x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{M! n!}{(M+n)!} \frac{x^n}{n!} = M \sum_{n=0}^\infty \operatorname{B}\left(M,n+1\right) \frac{x^n}{n!} $$ El uso de Euler de la integral: $$ \operatorname{B}\left(M,n+1\right) = \int_0^1 (1-u)^{M-1} u^n \mathrm{d} u $$ y intercambiando la integración y la suma de (garantizados porque de convergencia absoluta): $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{M.}{(M+n)!} x^n = M \int_0^1 (1-u)^{M-1} \mathrm{e}^{u x} \mathrm{d} u \stackrel{\text{a}}{=} 1 + x \int_0^1 (1-u)^M \mathrm{e}^{u x} \mathrm{d}u $$ Desde $\mathrm{e}^{u x} \leqslant \mathrm{e}^x$ todos los $x>0$ y todos los $0<u<1$, el límite es de fácil: $$ 0 < x \int_0^1 (1-u)^M \mathrm{e}^{u x} \mathrm{d} u < x \mathrm{e}^{x} \int_0^1 (1-u)^M \mathrm{d} u = \frac{x \mathrm{e}^{x}}{M+1} $$ El límite superior se aproxima a cero, por lo tanto $$ \lim_{M \to \infty} \sum_{n=0}^\infty \frac{M.}{(M+n)!} x^n = 1 $$