Diferenciación implícita de $e^{x^2+y^2} = xy$

Question

Sólo quiero reconfirmar los pasos necesarios para responder a esta pregunta. Gracias

Encuentre $\dfrac{dy}{dx}$ en los siguientes:

$$e^{\large x^2 + y^2}= xy$$

Tengo esto hasta ahora.

$\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}\frac{\dd x}{\dd y} e^{x^2}\cdot e^{y^2} = \frac{\dd x}{\dd y} xy$

$u=e^{x^2}$ : $\frac{\dd u}{\dd x}=2x(e^{x^2})$
$v=e^{y^2}$ : $\frac{\dd v}{\dd x}=2y(e^{y^2})\frac{\dd y}{\dd x}$

$u=x$ : $\frac{\dd u}{\dd x}=1$
$v=y$ : $\frac{\dd v}{\dd x}=\frac{\dd y}{\dd x}$

$$\begin{align} e^{x^2}\cdot2y(e^{y^2})\frac{\dd y}{\dd x} + e^{y^2}\cdot 2x(e^{x^2}) &= x \frac{\dd y}{\dd x} + y\\ e^{x^2}\cdot2y(e^{y^2})\frac{\dd y}{\dd x} - x \frac{\dd y}{\dd x} &= y - e^{y^2}\cdot 2x(e^{x^2})\\ \frac{\dd y}{\dd x} \left[e^{x^2}\cdot2y(e^{y^2})-x\right] &= y - e^{y^2}\cdot 2x(e^{x^2})\\ \frac{\dd y}{\dd x} &= \frac{y - e^{y^2}\cdot 2x(e^{x^2})}{e^{x^2}\cdot2y(e^{y^2})-x} \end{align}$$

Answer 1

$ e^{(x^2+y^2)} $ nunca puede igualar $ x\,y $ porque no existe una intersección real de superficies $ z=e^{(x^2+y^2)} $ y $ z = x y $ .

La cuestión de la derivada $ \frac{dy}{dx} $ carece de sentido al menos en lo que respecta a las variables reales x e y.

EDIT1:

Realmente quieres coeficiente diferencial implícito de $ e^{(x^2+y^2)} - x y $ = c, cuando la constante c es tal que $ f(x,y) = e^{(x^2+y^2)} - x y -c = 0 $ es un contorno 2D real a lo largo del cual se busca la derivada.

Answer 2

$\bf edit:$ como se puede ver en los comentarios, no hay necesidad de hacer ninguna diferenciación implícita. la restricción $$e^{x^2+y^2} = xy$$ no puede ser satisfecha por ningún $x, y.$ la diferenciación formal y la expresión formal para $\frac{dy}{dx}$ no sirve de nada.

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el post original se mantiene aquí para que los comentarios tengan sentido.

convertirlo en $$x^2 + y^2 = \ln |x| + \ln |y| $$ ahora diferencia esto que obtienes $$2x\, dx + 2y\, dy = \frac{dx}x + \frac{dy}{y} $$ que puede simplificarse como $$\frac{dy}{dx} = \frac{(1-2x^2)y}{(2y^2-1)x} \text{ and } e^{x^2 + y^2} = xy.$$

Answer 3

$$ e^{x^2+y^2} =xy \\ e^{x^2+y^2}\; [x^2+y^2]' =[x]'\, y+x\,[y]' \\ e^{x^2+y^2}\; [2x+2y\,\color{blue}{y'}] =[1]\, y+x\,[\color{blue}{y'}] \\ 2xe^{x^2+y^2}+2ye^{x^2+y^2}\,\color{blue}{y'} =y+x\,\color{blue}{y'} \\ 2ye^{x^2+y^2}\,\color{blue}{y'}-x\,\color{blue}{y'} =y-2xe^{x^2+y^2} \\ (2ye^{x^2+y^2}-x)\,\color{blue}{y'} =y-2xe^{x^2+y^2} \\ \color{blue}{y' = \dfrac{y-2xe^{x^2+y^2}}{2ye^{x^2+y^2}-x}} $$