¿Cuándo serán planos los morfismos abiertos?

Question

En esta respuesta de MSE adaptado de esta respuesta la extensión infinitesimal $\Bbbk[\varepsilon]\to \Bbbk$ se da como ejemplo de un morfismo abierto que no es plano.

1. ¿Son todos los morfismos abiertos no planos "de este tipo", es decir, fallan por ideales cuadrado-cero en alguna parte? ¿Por qué?
2. Si no es así, ¿cuáles son algunos ejemplos geométricos de mapas abiertos morfismos no planos de diferente naturaleza?
3. ¿Cuáles son algunos de los criterios que hacen que los morfismos abiertos sean planos, además de "ser una inmersión'?

Answer 1

He aquí un resultado que responde a su pregunta 3:

Teorema [ EGA IV $_{3}$ Cor. 15.2.3] . Dejemos que $Y$ sea un esquema localmente noetheriano, y sea $f \colon X \to Y$ sea un morfismo localmente de tipo finito. Sea $x \in X$ sea un punto con imagen $y = f(x)$ . Supongamos que se dan las siguientes condiciones:

1. el morfismo $f$ es universalmente abierto en el punto genérico de cada componente irreducible de $f^{-1}(y)$ que contiene $x$ ;
2. la fibra $f^{-1}(y)$ se reduce geométricamente (sobre $\kappa(y)$ ) en $x$ y
3. el anillo local $\mathcal{O}_{Y,y}$ se reduce.

Entonces, $f$ es plana en el punto $x$ .

Esto dice que los morfismos universalmente abiertos que no son planos deben tener alguna no reducción en alguna parte, ya sea en las fibras o en la base, respondiendo así a tu pregunta 1, al menos si refuerzas "abierto" a "universalmente abierto". Aunque seguro que también hay ejemplos de morfismos abiertos pero no universalmente abiertos.

Arrow hizo dos preguntas más en los comentarios.

1. Mi intuición para una base no reducida es que para el morfismo $f$ para ser plano, el morfismo debe parecer una restricción de una familia agradable en un espacio base mayor. Así que no se puede esperar que la planitud sea capturada puramente topológica. Dependiendo de tu gusto, las fibras no reducidas son menos geométricas, ya que esto no ocurrirá si $X$ es suave y todo está sobre un campo de característica $0$ por la suavidad genérica.
2. De nuevo, dependiendo de tu gusto, los morfismos abiertos pero no universalmente abiertos son menos geométricos, ya que no pueden ocurrir si la base es reducida y normal [ EGA IV $_{3}$ Cor. 14.4.9]. Encuentro esta pregunta de MathOverflow perspicaz. En particular, menciona un ejemplo de un morfismo abierto que no es universalmente abierto, por lo tanto no es plano; hay otro ejemplo [ EGA IV $_{3}$ Rem. 14.3.9(i)] en los comentarios.