¿Qué podemos decir sobre un espacio donde el mapa de identidad en sí mismo no es nulo-homotópico?

Question

Sabemos que si un espacio$X$ tiene la propiedad de$id_X$, el mapa de identidad en$X$, es nulo-homotópico, entonces$X$ es contráctil.

Mi pregunta es qué sucede con un espacio$X$ donde el mapa de identidad en$X$ NO es nulo-homotópico, ¿por qué no puede ser contraíble? ¿Qué sale mal? ¿Algún ejemplo?

Aquí contractible se refiere a una propiedad de un espacio que tiene el tipo homotopy de un punto.

¿Alguien podría ayudarme a aclarar esta confusión? Gracias.

Answer 1

(En lugar de hablar de "identidad mapa no null homotópicas" $\implies$ «no termocontraibles», usaré el contrapositive.)

Si $X$ es contractible, que en su definición significa que tiene el tipo de homotopía de un punto, entonces dejar que $Y$ sea un espacio topológico con un punto, hay continuo mapas $f:X\to Y$ y $g: Y\to X$ tal que $g\circ f\simeq \mathrm{id}_X$ y $f\circ g\simeq \mathrm{id}_Y$.

El mapa $g\circ f:X\to X$ de $X$ mapas a un solo punto de $X$. Así el hecho de que $g\circ f\simeq \mathrm{id}_X$ dice que el mapa de la identidad de $X$ es null homotópicas.