Probabilidad de estar en un cierto punto después de $N$ pasos en paseo aleatorio con una única barrera absorbente

Question

Un caminante al azar en $1$ dimensión comienza a caminar de un $k>0$ con una barrera absorbente en punto $0$. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a un $m>0$ $N$ pasos? ¿Cómo debo pensar en el problema?

Answer 1

¿Cómo debo pensar en el problema?

Me gustaría pensar el problema mediante la consideración de un problema más sencillo y, a continuación, teniendo en cuenta cómo adaptar la solución para el problema más sencillo para el problema original.

Me gustaría empezar por el uso de un resultado conocido para la posición $X_n$ después $n$ pasos de un camino aleatorio, comenzando a $0$, sin la absorción de una barrera. Con $s_-$ = número de pasos a la izquierda, $s_+$ = número de pasos a la derecha, y $n$ = número total de pasos: $$\begin{eqnarray*} X_n &=& s_+ - s_-\\ n &=& s_- + s_+ \\ X_n &=& 2s_+ - n \end{eqnarray*}$$

The probability of $i$ steps to the right, $\rm{Pr}(s_+ = i)$, in $$ n pasos, está dada por $$ \rm{Pr}(s_+ = i) = c(i,n) \; p^i (1-p)^{n-i},$$ donde $p$ es la probabilidad de que un paso a la derecha, y $c(i,n)$ es el número de $i$ pasos positivos en $n$ total de pasos. Claramente en este caso simple: $$ c(i,n) = \left( \array{n\\i} \right) = \frac{n!}{i!(n-i)!}$$ es decir, $s_+$ sigue la distribución Binomial $$ s_+ \sim B(n, p) $$

En general, en el caso, sin que la absorción de una barrera, $$\rm{Pr}(X_n=i) = c((n+i)/2,n) \; p^{(n+i)/2}q^{n-(n-i)/2},$$ con $c$ se define como el anterior, y $i=0,\pm2\ldots \pm n$ si $n$ a, y $i=\pm1,\pm3\ldots\pm n$ si $n$ impar.

Para obtener una intuición de cómo funciona esto, considere el caso con una posición de partida $k=1$, el número de pasos $n=6$. Nota sólo ciertas posiciones son posibles: en este caso, después de los 6 pasos de la única manera posible de posiciones finales a partir del 1 de son $-5$, $-3$, $-1$, $1$, $3$, $5$, y $7$.

Considere la posibilidad de $k=1, n=6$, y un objetivo de $m=3$, Aquí, $m-k = 2$ y queremos que la probabilidad de $\rm{Pr}(X_6=2)$. La solución de $2 = 2s_+ - 6$ da $s_+ 4$, es decir, necesitamos 4 pasos a la derecha-y 2 pasos a la izquierda, en cualquier orden. $$ P(X_6=2) = P(s_+=4) = \left( \array{6\\4} \right)p^4(1-p)^2 = \frac{6!}{4!2!}p^4(1-p)^2 = 15p^4(1-p)^2 $$

These 15 combinations are

--++++
-+-+++
-++-++
-+++-+
-++++-
+--+++
+-+-++
+-++-+
+-+++-
++--++
++-+-+
++-++-
+++--+
+++-+-
++++--

But what if there is an absorbing barrier at $0$? In this case, we still must have 4 steps to the right and 2 steps to the left, but some combinations of steps aren't valid. These combinations are those that touch the origin, I have marked these combinations with a *, below.

--++++ *
-+-+++ *
-++-++ *
-+++-+ *
-++++- *
+--+++ *
+-+-++
+-++-+
+-+++-
++--++
++-+-+
++-++-
+++--+
+++-+-
++++--

In this case in the modified problem with an absorbing barrier, $c(i,n) = 15 - 6 = 9$

$$ P(X_6=2) = (15 - 6)p^4(1-p)^2 = 9p^4(1-p)^2$$

So in my opinion you need to find some way of determining $c(i,n)$ by calculating the number of invalid combinations and subtracting from $ \left( \matriz{n\\i} \right) $, or calculating $c(i,n)$ directamente.