Bueno, yo estoy tratando de usar el hecho de que $S^1$'s fundamentales de los grupos es libre y generadas por sobre el elemento ($\mathbb{Z}$), denotando $\pi_1(S^1) = \langle [\gamma] \rangle$. Al $\gamma$ es un bucle comienza a $(0,1)$ y el de las agujas del reloj a través de $S^1$ . Usando el cociente mapa $q:S^1 \rightarrow \mathbb{R}P^1$ ($x \mapsto \{x,-x\}$) como una cubierta de mapas, uno conseguir ese $[\gamma] \mapsto q_*([\gamma]) = [q\circ\gamma]= \cases{\alpha(s) : s\in[0,\pi] \\ \alpha(s-\pi) : s\in[0,2\pi]}$ al $\alpha$ es el bucle en $\mathbb{R}P^1$, que comienza a $(0,1)$, y la de las agujas del reloj hasta que $(0,-1) \sim (0,1)$.
$q\circ \gamma$ es homotópica a $\cases{\alpha(2s) : s\in[0,\pi] \\ \alpha(2s-2\pi) : s\in[0,2\pi]}$ por el homotopy $F_t(s) = \cases{\alpha(2(1+t)s) : s\in[0,\pi] \\ \alpha((1+t)(s-\pi)) : s\in[0,2\pi]}$, lo que a su vez es homotópica a $\alpha * \alpha$ (sólo la composición de una función para cambiar el dominio de$[0,2\pi]$$[0,1]$.
De manera que uno puede conclute que $[q\circ \gamma] = [\alpha * \alpha]$ , pero no estoy de éxito en el procedimiento formalmente a la conclusión de que $\mathbb{R}P^1$ es generado por $\alpha$ que es lo que yo deseaba alcanzar. Cualquier ayuda, y otras ideas se agradece!
