Un campo de orden $32$

Question

Estuve trabajando en este problema de un antiguo examen de cualificación y aquí está el pregunta. En particular, esto no es para la tarea.

Verdadero o falso: No hay campos de orden 32. Justifique su respuesta.

Intento : De la teoría general sé que cualquier campo finito tiene potencia de orden primo y, a la inversa, dada cualquier potencia prima, existe un campo finito de ese orden. Así que, por supuesto, esos campos existen. Pero ahora necesito construir explícitamente tal campo. Si pudiera construir de alguna manera $\mathbb{Z}_2[x]/(p(x))$ donde $p(x)$ es un polinomio de grado 5 que es irreducible sobre $Z_2$ He terminado. Pero espera, ¿cómo se me ocurre un polinomio de grado 5 que sea irreducible sobre $Z_2$ . Mis métodos normales no funcionan aquí porque $p(x)$ no tiene orden 2 o 3. En cuyo caso es fácil comprobar la irreducibilidad.

Mi pregunta es, en este tipo de situaciones, si hay una forma general de proceder.

Nota: No he aprendido la teoría de Galois ni nada parecido. ¿Requiere este problema más maquinaria para resolverlo?

Por favor, ayuda.

Answer 1

No más maquinaria. Hazte una tabla de polinomios irreducibles de grados hasta 5 pensando en cómo reconocer polinomios sobre $\mathbb Z_2$ con $0$ o $1$ como raíz, para luego proceder haciendo una criba de Eratóstenes (tachando los polinomios que son divisibles por irreducibles de menor grado).

Answer 2

Polinomios de grado $2$ o $3$ son reducibles si y sólo si tienen una raíz. Se quiere encontrar un grado $5$ irreducible. ¿Puedes ver que un grado $5$ ¿el polinomio será irreducible si no tiene raíces y no es el producto de un cúbico irreducible por un cuadrático irreducible? Ahora haz una lista de los cúbicos y cuadráticos irreducibles (no hay muchos) y forma todos los productos posibles. Esto te dará una lista de reducibles de grado $5$ polinomios. Ahora escoge cualquier grado $5$ polinomio sin raíces que no está en esa lista.

Answer 3

Dejemos que $p$ sea primo. Consideremos el polinomio $f(x) = x^{p^n} - x$ en $\mathbb F_p$ . Su derivado es $f'(x) = -1 \ne 0$ Por lo tanto $f(x)$ es separable. Por lo tanto, tiene $p^n$ raíces. Sea $\alpha$ , $\beta$ sean dos raíces de $f(x)$ . Utilizando el mapa de Frobenius $x \mapsto x^p$ vemos que $a^{-1}$ , $\alpha + \beta$ y $\alpha \beta$ también son raíces de $f(x)$ . Por lo tanto, el conjunto de raíces de $f(x)$ es cerrado bajo adición, multiplicación e inversión. Por lo tanto, el campo de división está formado en su totalidad por el $p^n$ raíces.

Esto demuestra que para cualquier primo $p$ y cualquier número entero positivo $n$ un campo finito de orden $p^n$ existe.

(De hecho, este campo es único hasta un isomorfismo. Esto se puede demostrar utilizando los hechos de que el campo divisor es único hasta un isomorfismo, y el grupo multiplicativo de un campo finito es cíclico).

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A la inversa, dejemos que $\mathbb F$ sea un campo finito. Sea $\mathbb F_p$ sea su subcampo primo. Tenemos $[\mathbb F : \mathbb F_p] = n$ para algún número entero positivo $n$ . Así, el orden de $\mathbb F$ es $p^n$ .

Esto demuestra que todos los campos finitos tienen orden $p^n$ para algún primo $p$ y un número entero positivo $n$ .

Answer 4

En $\mathbb F_p$ los factores polinómicos $x^{p^n}-x$ son exactamente los primos de grado $d\mid n$ .

En particular, los primos de grado $5$ deben ser factores de $\frac{x^{32}-x}{x^2-x}$ y cualquier factor debe ser un primo de grado $5$ . Así que sólo necesitas un factor de $1+x+\dots + x^{30}$ .

Tales factores definitivamente existen - hay exactamente seis polinomios primos de grado $5$ en $\mathbb F_2$ .