Ser catalán ' identidad

Question

Necesito demostrar la siguiente identidad $$\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n-1}+\frac1{2n}=1-\frac12+\frac13-\cdots+\frac1{2n-1}-\frac1{2n}$ $ que en forma compacta es: $$\sum{j=1}^n \frac1{n+j}=\sum{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}$ $

También puedo expresar la igualdad anterior como: $$\sum{j=1}^n \frac1{n+j}=\sum{j=1}^{n} \frac1{2j-1}-\sum_{j=1}^{n} \frac1{2j}$ $ sin embargo parece que no puedo ir más lejos. ¡Cualquier sugerencia es apreciada!

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \sum_{j = 1}^{n}{1 \over n + j} & = \sum_{j = 1 + n}^{2n}{1 \over j} = \sum_{j = 1}^{2n}{1 \over j} - \sum_{j = 1}^{n}{1 \over j} = \bracks{\sum_{j = 1}^{n}{1 \over 2j} + \sum_{j = 1}^{n}{1 \over 2j - 1}} - 2\sum_{j = 1}^{n}{1 \over 2j} \\[5mm] & = \sum_{j = 1}^{n}{1 \over 2j - 1} - \sum_{j = 1}^{n}{1 \over 2j} = \bbx{\ds{\sum_{j = 1}^{2n}{\pars{-1}^{n + 1} \over j}}} \end{align}