Grupo fundamental y superficies de Riemann

Question

Las superficies compactas se clasifican hasta el homeomorfismo por su grupo fundamental (definido hasta el isomorfismo). Sin embargo, 2 superficies compactas de Riemann pueden ser homeomorfas pero no conformes. Aun así, están relacionadas con sus grupos fundamentales por el hecho de que el mapa de cobertura universal es holomorfo: así, para una superficie compacta hiperbólica de Riemann $M$ puede describirse como el cociente del semiplano superior bajo la acción de un grupo fucsiano que es isomorfo al grupo fundamental. Sin embargo, ese grupo fucsiano no es único.

Mi pregunta es la siguiente: ¿cuál es la noción de equivalencia necesaria para que dos grupos fucsianos generen la misma superficie (hiperbólica) de Riemann? A priori tiene que ser más fuerte que el simple isomorfismo.

Answer 1

A no ser que esté pasando algo por alto:

Los grupos deben ser conjugados en $\operatorname{Aut}(\mathbb{H})$ .

Digamos que tenemos dos superficies hiperbólicas $S,\, T$ con sus cubiertas universales $\pi_S,\, \pi_T$ y un biholomorismo $\varphi \colon S \to T$ . Elección de un punto $s \in S$ y $\sigma \in \mathbb{H}$ por encima de $s$ y un punto $\tau \in \mathbb{H}$ por encima de $t = \varphi(s)$ hay una elevación única de $\varphi$ a $\Phi \colon \mathbb{H} \to \mathbb{H}$ con $\Phi(\sigma) = \tau$ tal que el diagrama

$$\begin{matrix} \hphantom{XY}\mathbb{H} & \overset{\Phi}{\longrightarrow} & \mathbb{H}\hphantom{XY}\\ \pi_S\downarrow & & \downarrow\pi_T\\ \hphantom{XY}S & \underset{\varphi}{\longrightarrow} & T\hphantom{XY} \end{matrix}$$

es conmutativo. Ahora dejemos que $\delta$ una transformación de la cubierta de $\pi_S$ . Entonces $\pi_T \circ \Phi \circ \delta = \varphi \circ \pi_s \circ \delta = \varphi \circ \pi_S$ Por lo tanto $\Phi \circ \delta$ es la única elevación de $\varphi$ que mapea $\sigma$ a $\Phi(\delta(\sigma))$ . Dejemos que $\hat{\delta}$ la transformación de la cubierta de $\pi_T$ que mapea $\tau$ a $\Phi(\delta(\sigma))$ . Entonces vemos que $\Phi \circ \delta = \hat{\delta} \circ \Phi$ o $\hat{\delta} = \Phi \circ \delta \circ \Phi^{-1}$ . Es decir, la conjugación con $\Phi$ da un isomorfismo $\operatorname{Deck}(\pi_S) \to \operatorname{Deck}(\pi_T)$ .

Por el contrario, si tenemos $\operatorname{Deck}(\pi_T) = \Phi\operatorname{Deck}(\pi_S) \Phi^{-1}$ para un $\Phi \in \operatorname{Aut}(\mathbb{H})$ podemos empujar hacia abajo $\Phi$ a un biholomorfismo $\varphi$ entre $S$ y $T$ .