incertidumbre de los campos con muchos modos armónicos

Question

En la mayoría de las introducciones de nivel básico a la formulación del oscilador armónico cuántico de los campos, se supone que las variables conmutativas de los campos $p_m$ , $q_m$ son

$$ \lbrack p_m , q_n \rbrack = \delta_{m n} i \hbar $$

que parecen implicar que cada modo individual mantiene una relación de incertidumbre como $ \Delta p_m \Delta q_m \ge \hbar $

ahora, las incertidumbres de los valores del campo con muchos modos deben expresarse como (suponiendo el estado de vacío, donde $\langle E \rangle = \langle E_k \rangle = 0$ ):

$$ \langle E^2 \rangle = \langle \psi | ( \sum_k{ E_k } )^2 | \psi \rangle = \sum_k{ \langle \psi | E_k^2 | \psi \rangle } $$

pero como cada modo tiene cierta incertidumbre en el vacío, parece implicar que la incertidumbre del campo neto es infinita, lo que claramente no tiene ningún sentido

¿Alguna idea de dónde se equivocan mis suposiciones?

Answer 1

La fluctuación de un campo en un punto es infinita en cualquier teoría de campo, esto es por la razón que expones. Esta es la razón por la que se necesita manchar el campo sobre una región con una función de prueba para que tenga una fluctuación finita, y la razón por la que los campos se caracterizan como distribuciones valoradas por operadores.

Si se observa el valor esperado del cuadrado del campo en un punto, se considera la versión regulada del punto dividido:

$$ \langle \phi(x)\phi(0)\rangle = G(x)$$

y tomar el límite $x\rightarrow 0 $ . Esto es claramente infinito, ya que G(x) va como $1\over x^{d-2}$ o como registro en 2d. Sólo es finito en 0+1 dimensiones (mecánica cuántica). Si se mancha el campo y se mira el cuadrado del operador manchado, se obtiene

$$ \langle \int f(x) \phi(x) \int f(y)\phi(y)\rangle = \int f(x)f(y) G(x-y) d^dx d^dy $$

Esto es completamente finito, ya que la singularidad G(x-y) es siempre más suave que el volumen. Así que los campos libres siempre producen bien definidos después de manchar por las funciones de prueba.

Esto fue analizado por Bohr y Rosenfeld (para el campo electromagnético) a principios de los años 30, en los inicios de la teoría cuántica de campos.

Answer 2

EDITADO: El comentario de @ronmaimon es correcto, esta respuesta no se aplica a esta pregunta. La de abajo se aplica si estuvieras haciendo una pregunta diferente, cómo es que un solo modo del campo tiene ruido finito. Pero la pregunta real se refiere a una situación en la que hay un número infinito de modos y las fluctuaciones en una medición sobre ese campo son infinitas.

EDITO CONTINUADO: la resolución de la cuestión de la fluctuación infinita se resuelve en última instancia por el roll-off de todo a altas frecuencias. Los modos en la pregunta original deben ir a energía infinita, si limitamos la energía sólo tenemos un número finito de modos en una región finita. Pero los modos de mayor energía tienen una variación temporal cada vez más rápida $f=E/h$ y una variación espacial cada vez más rápida. Cualquier medición realista de la intensidad de campo implica promediar el campo en una extensión finita. Por lo tanto, cualquier herramienta de medición tiene un límite efectivo de modos de frecuencia/energía a los que se acopla. Por tanto, la fluctuación total medida es finita debido a este corte. Es lógico que cuanto más pequeña sea nuestra medición, más modos de frecuencia incluiremos, y más altas serán las fluctuaciones totales incluidas en nuestra medición. Pero hasta que lleguemos a una sonda de medición infinitamente pequeña (mucho, mucho, mucho más pequeña que un quark), siempre tendremos fluctuaciones finitas de cualquier dispositivo de medición real.

RESPUESTA ANTIGUA A LA PREGUNTA EQUIVOCADA: Cuando escribes un estado como una suma sobre un montón de otros estados, debes normalizar la suma. Así que si $\langle \psi_k \rangle$ son los estados normalizados a partir de los cuales se crea la suma, el estado que se crea es $$| \phi \rangle = \sum_k \alpha_k | \psi_k\rangle$$ donde $$1 = \sum_k \alpha_k^*\alpha_k$$ es la condición de normalización.

Pero esto significa que cuando estamos reuniendo la incertidumbre de alrededor de $\hbar$ de cada modo, la suma acaba siendo finita porque sólo estamos sumando unos $\alpha_k^*\alpha_k\hbar$ de cada modo.

Answer 3

Voy a dar una opinión preliminar sobre el problema, de ninguna manera pretende ser una respuesta completa

la relación del principio de incertidumbre es verdadera para el espacio de funciones cuadradas-integrables donde el análisis de Fourier se mantiene, ver este para una referencia. Así, el principio fue desde el principio, destinado al campo de la red

Extrapolar el principio a los modos individuales es una operación mal definida que se ha convertido, sin embargo, en el estándar para los campos cuánticos, pero parece bastante poco convincente, y poco motivada, al menos en la superficie

Los modos individuales de un campo libre que no interactúa (para el que aceptamos una transformación de Fourier) son todos ondas planas, por lo que todos son estados de momentos bien definidos e incertidumbre infinita en la posición. Por lo tanto, no es de extrañar que un intento ingenuo de expresar las incertidumbres combinadas conduzca a un choque. Por supuesto, la segunda cuantización no es más que un ansatz (y uno que parece funcionar bien, o eso se dice) y no necesita ninguna justificación, salvo sus resultados finales