Ya he publicado la siguiente pregunta en la MO, pero id de no levantar mucho interés. Tal vez el título es demasiado elemental para ganar el interés de la investigación.
Supongamos que tengo una matriz de valores de la función
$$ F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{m\times n},\qquad F(x)=\tilde Q\tilde a la I+xu_1v_1^T+xu_2v_2^T $$ donde $\tilde Q\in\mathbb{R}^{m\times m}$ es ortogonal, $\tilde R\in\mathbb{R}^{m\times n}$ triangular superior, $u_1,u_2\in\mathbb{R}^m$$v_1,v_2\in\mathbb{R}^n$.
Hay algo que puede decirse acerca de la descomposición QR de $F(x)=Q(x)R(x)$ dependiendo $x$?
Para dar un poco más de fondo: me gustaría minimizar $$ g(x)=||Q^T_2(x)z||^2_2 $$ para algunos vectores $z$ y $$ F(x)=Q(x)R(x)=\begin{bmatrix}Q_1(x)& Q_2(x)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}R_1(x)\\0\end{bmatrix}=Q_1(x)R_1(x). $$
He trazado la función de $g$ para un par de casos diferentes, y no siempre se parece a esto:
He sido envolver mi mente alrededor de los siguientes dos preguntas:
- Es sólo una coincidencia que veo exactamente un local mínimo y un máximo local, o puede que ser probada?
- Puede que aún sea posible dar un algoritmo directo que se encuentra en el mínimo de esta función?
No es difícil emplear una no lineal optimizador para encontrar el mínimo, sin embargo, en ese caso me gustaría que la garantía de que yo en realidad sólo tiene un mínimo local y que mi optimizador en caso de que no divergen está garantizado para encontrar el óptimo global.
Lo que he intentado: Hay algoritmos para la actualización de una descomposición QR con rango 1 matrices, por ejemplo, por Daniel, Gragg, Kaufman y Stewart. He intentado seguir los pasos pero simbólicamente mediante una serie de Rotaciones de Givens para garantizar la triangularidad de la matriz $R(x)$ conduce rápidamente a los términos que he encontrado de no ser un buen manejo. Sin embargo, tal vez soy sólo falta una buena idea para un claro de la notación o no ver el sistema que está detrás.
Cualquier ayuda (incluso si es sólo un puntero a un papel que hace algo similar) es muy apreciado.
