$\mathbb{Z}$ como producto libre de dos grupos

Question

Mi pregunta es si el grupo $(\mathbb{Z},+)$ como producto libre de dos grupos (no triviales)?
Gracias

Answer 1

En un producto gratuito $G = H \ast K$ , $H$ y $K$ se insertan canónicamente en $G$ y $H \cap K = \{1\}$ . Por otra parte, si $A$ y $B$ son dos subgrupos no triviales de $\mathbb{Z}$ entonces $A \cap B \neq \{0\}$ .

Answer 2

Otra pista puede surgir del hecho de que si $a\in H,b\in K$ son elementos no triviales en $H*K$ entonces el elemento $|aba^{-1}b^{-1}|=\infty$ y además $H*K$ es un infinito sin centro grupo.

Answer 3

Supongamos que $\mathbb Z \cong G\coprod H$ el producto libre de $G$ y $H$ . Pero $\mathbb Z$ es abeliano mientras que si $g\in G$ y $h\in H$ son elementos no triviales, entonces $gh\ne hg$ en el producto libre. Por lo tanto, al menos uno de $G$ o $H$ debe ser trivial.