Dado que el logaritmo es la inversión de la exponenciación, ¿por qué necesita una distinta notación para ti? ¿Por qué no podemos simplemente pregunte:
$$2^x=8$$
En lugar de:
$$\log_2 8=x$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Supongamos que se quiere expresar el hecho de que, a decir, $$\lim_{n\to\infty} \left(-\log_e n + \sum_{i=1}^n \frac1i\right) = 0.577\ldots.$$ How do you propose to do this with no $\registro de$ notación?
Aquí hay otro ejemplo. Supongamos que tenemos un canal de comunicación-por ejemplo, un cable de teléfono-en los que podemos transmitir a $C$ bits por segundo.
Queremos utilizar este cable para enviar una secuencia de mensajes, pero no sabe de antemano lo que los mensajes que se necesita para enviar (o de lo contrario no habría ningún punto en el envío de ellos!) Pero supongamos que sabemos que cada mensaje diferente $M_i$ será enviado con una probabilidad de $p_i$. Podemos código de los mensajes de $M_i$ en bits de tal forma que podemos enviar a través de este canal?
La respuesta es que el total de la información en la secuencia de mensaje, llamada entropía de la corriente, es
$$E = \sum_i -p_i \log_2(p_i)$$
bits por mensaje, en promedio, y la velocidad a la que podemos esperar para enviar los mensajes, no es más que $C/E$ mensajes por segundo, suponiendo una óptima traducción de mensajes en bits.
¿Cómo se propone usted para expresar $E$ sin el uso de $\log$?
Este es un tercer ejemplo. Deje $\pi(n)$ el número de números primos menos de $n$, así por ejemplo,$\pi(10) = 4$, desde el 2, 3, 5 y 7 son primos. Un famoso y profundo teorema establece que:
$$\pi(n) \sim {n \over \ln n}$$
donde $\sim$ significa que la proporción de los lados izquierdo y derecho enfoques 1 $n$ se hace muy grande.
¿Cómo va el estado esta sin usar $\log$?
Gudmundur Orn
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853
Vamos a venir para arriba con un problema muy simple.
Supongamos que queremos escribir que $\log_2 8 + \log_3 9 = x$ (aquí, por supuesto, $x = 5$). ¿Qué íbamos a escribir sin el logaritmo de la notación? No podemos escribir $2^x + 3^x = 8 + 9$, o cosas a lo largo de esas líneas. A priori, no sabemos cuánto de $x$ viene de la $\log_2 8$ plazo o $\log_3 9$ plazo, por lo que no puede escribir como dos ecuaciones.
Es mucho más difícil escribir esta simple ecuación sin logaritmos.
Como usted aprender más matemáticas, usted también aprenderá que puede ser útil para tomar los registros de las cosas en general. Tomando los registros tiene el efecto de quitar el exponente", es decir,$\log a^b = b \log a$, y el efecto de los productos de la suma, es decir,$\log(ab) = \log(a) + \log(b)$. Ambas son muy buenas cosas para ser capaz de hacer, como pueden simplificar los problemas difíciles en problemas más simples.
Godot
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1461
El concepto de logaritmo no es sólo la notación. El logaritmo, yo.e.una función de $\log:\mathbb{R}_{+}\rightarrow\mathbb{R}$, tiene muchas útil de las propiedades. La propiedad que hizo que el logaritmo es tan importante que resulta de la multiplicación en la suma:
$$\log(xy)=\log(x)+\log(y).$$
Observe que la adición de los números es mucho más simple que la multiplicación de ellos. Por lo tanto usted puede multiplicar varios números fácilmente si usted tiene una tabla de logaritmos. Desde una perspectiva histórica que fue probablemente la cosa más importante que hicieron los logaritmos tan útil y popular entre los ingenieros y los científicos. Así como un concepto importante que se merece su propio símbolo: $\log$.
sewo
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Tener una notación para $\log_2 8$ hace que sea mucho más fácil expresar en forma sucinta qué hacer con la solución de la ecuación después de la computación . Escribir, decir, $$\log_2 x + (\log_2 y)^2$$ es más corto y más simple de la escritura $$p+q^2 \text{ where }2^p=x\text{ and }2^q=y$$ y es más fácil trabajar con ellos porque "$\log_2 y$" le dice todo lo que hay que decir sobre el cálculo de la derecha que hay en una visual paquete, mientras que el "$q \ldots\ldots$ donde $2^q=y$" tendría sus ojos como dardos de ida y vuelta entre el uso de $q$ y su definición.
Lo mismo podría decirse acerca de cualquier resultado intermedio en un cálculo que se define por una ecuación se satisface. Pero la definición de una nueva notación cada vez que nos encontramos con un nuevo tipo de ecuación sería una especie de derrota el propósito (que habría que dart de ida y vuelta entre la definición y de su uso). Lo que hace que casos como el de los logaritmos especial es que son útiles tan a menudo que es una red ahorrador de tiempo para aprender especializado de la notación para que de una vez por todas.
Hay un buen número de casos especiales, por ejemplo una notación especial "$a-b$" para la resta se podría haber omitido porque podemos escribir como "la solución a $b+x=a$ lugar. Y así sucesivamente.
¿Por qué no tenemos un genérico de notación para "la solución de tal-y-tal ecuación" que puede ser utilizado como una expresión? La tradición, en su mayoría. En un mundo ideal, tal vez le gustaría escribir $[x\mathrel{\#}2^x=8]$ en lugar de $\log_2 8$ $[x\mathrel{\#}b+x=a]$ en lugar de $a-b$. Pero tal vez no. En muchos casos, el tradicional notaciones para las cosas que son tan comunes que incluso un genérico de notación $[x\mathrel{\#}b+x=a]$ sería inaceptablemente engorroso en comparación a $a-b$.
Michael Greinecker
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19016
Creo que si sólo se desea calcular el logaritmo de un número con respecto a una determinada base, su enfoque funciona muy bien. Pero a menudo nos lidiar con el logaritmo de una función, de modo que a menudo esta función sin duda merece su propia notación.
Addendum: Por cada positivo de base y de cada número, hay una solución de la ecuación has publicado y sólo una solución. Esto significa, que la ecuación define una función, una función implícita. Como se mencionó en un comentario, el squareroot función es similar implícitamente definido. En el cálculo, operamos directamente con estas funciones como objetos. Por ejemplo, si queremos calcular el área bajo la gráfica de la función definida implícitamente. Por esto, queremos hablar acerca de la función como un objeto. Algunas de estas funciones, tales como el logaritmo, se producen tan a menudo que se merecen su propio, especial, notación.
