Homomorfismo sobreyectiva

Question

Para $2$ lo $C_2 \times C_2$ no es cíclica y entiendo que si la homomorphism es surjective debe cubrir la totalidad de $C_2 \times C_2$, pero no sigo por qué la imagen debe ser cíclica.

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$8. )$ ¿Existe un surjective homomorphism

1. de $C_{12}$ a $C_{4}$ ?
2. de $C_{12}$ a $C_{2} \times C_{2}$ ?
3. de $D_{8}$ a $C_{4}$ ?
4. de $D_{8}$ a $C_{2} \times C_{2}$ ?

Dar razones para sus respuestas.

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(2) No: la imagen de cualquier homomorphism $C_{12} \rightarrow C_{2} \times C_{2}$ debe ser cíclica ( como será generado por la imagen de un generador de $C_{12}$ ) por Lo que no puede ser surjective .

Answer 1

Vamos a decir $G$ es un grupo cíclico. Por lo $G = \langle g \rangle$ donde $g$ es un generador. Lo que significa que cualquier elemento de a $G$ debe ser de la forma $g^n$.

Lo que hace a su imagen bajo un homomorphism $\phi$?

Tome $y$ en la imagen de $\phi$. $y$ debe ser de la forma $y = \phi(x)$ donde $x$ es un elemento de $G$. Pero $x$ debe ser de la forma $g^n$ (porque es cíclico).

Por lo tanto, $ y= \phi(x) = \phi(g^n) = \phi(g)^n$.

Llegamos a la conclusión de que cualquier elemento de la imagen es de la forma $\phi(g)^n$.

A partir de aquí (con un poco más de pensamiento) usted debe ser capaz de concluir el porqué $\phi(g)$ es un generador de la imagen.

Answer 2

Cualquier homomorfismo $\phi : C_{12} \rightarrow C_2 \times C2$ se determina completamente por donde mapea el generador de $C{12}$.

Si suponemos que $C_{12} = \langle g \rangle$, entonces el $\phi(g^k) = \phi(g)^k$ % todo $k\in \mathbb{Z}$(usando la propiedad de homomorfismo de $\phi$). Por lo tanto debe ser fácil de ver que $\mathrm{im}\, \phi = {\phi(g)^k : k \in \mathbb Z}$, un subgrupo cíclico de $C_2 \times C_2$.

Answer 3

La clave es analizar cuidadosamente el paréntesis comentario en la solución. Es decir más que el que la imagen es cíclica, es decir, se está dando un supuesto generador.

Es decir, suponga que usted tiene un homomorphism $\phi : C_{12} \rightarrow C_2 \times C_2$. Deje $x$ ser un generador de $C_{12}$ y deje $g = \phi(x)$. El reclamo es que el $g$ debe generar la imagen de $\phi$. ¿Cómo se puede demostrar tal afirmación? Bien, tomar cualquier elemento $h$ en la imagen de $\phi$. Usted necesita demostrar que $h = g^m$ para algunos entero $m$. Usted tendrá que utilizar ese $C_{12}$ es cíclico y que $\phi$ es un homomorphism para probar esto.