Obtención de la matriz de adyacencia de los grafos de Cayley

Question

¿Es posible obtener la matriz de adyacencia de un grafo de Cayley de $Z_3 \times Z_5$ ? (Manualmente o utilizando un programa como GAP).

¿Existirá un patrón para las matrices de adyacencia de los grafos de Cayley para un tipo particular de grupos considerados (es decir, si consideramos los grafos de Cayley de los grupos $Z_p \times Z_q$ donde p,q son primos distintos, ¿estarán las matrices de adyacencia obtenidas para varias elecciones de p y q relacionadas entre sí por algún patrón)?

Sé que obtenemos diferentes grafos de Cayley para diferentes conjuntos generadores elegidos para construir el grafo de Cayley. Así que si la matriz de adyacencia es difícil de tomar debido a esta razón por favor mencione al menos para un grupo electrógeno elegido.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

En GAP: Con la función

AdjacencyMatrixCayleyGraph:=function(elms,gens)
local g,A,i,l;
  l:=Length(elms);
  A:=NullMat(l,l);
  for i in [1..Length(elms)] do
    for g in gens do
      A[i][Position(elms,elms[i]*g)]:=1;
      A[i][Position(elms,elms[i]/g)]:=1; # or -1 if digraph is wanted
    od;
  od;
  return A;
end;

puede llamar a AdjacencyMatrixCayleyGraph con una lista de elementos del grupo y una lista de generadores.

Por ejemplo, en el caso de un generador cíclico de $Z_3\times Z_5$ :

gap> g:=AbelianGroup([3,5]);
<pc group of size 15 with 2 generators>    
gap> m:=AdjacencyMatrixCayleyGraph(Elements(g),[g.1*g.2]);
[ [ 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
  [ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 ],
  [ 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0 ] ]

Answer 2

with(GroupTheory):
with(GraphTheory):
G := DirectProduct(CyclicGroup(3), CyclicGroup(5));
H := CayleyGraph(G):
AdjacencyMatrix(H);

El resultado será el siguiente:

Efectivamente, el resultado es estupendo, pero me gustaría saber cómo podríamos hacerlo mediante GAP.