La simplificación de la ecuación proporciona diferentes dominios y rangos

Question

Estoy tratando de encontrar el dominio y rango de:

$$f(x) = \frac {x^2 - 4x + 3 }{x - 1}$$

En el libro que yo estoy usando, se dice que el dominio (x) es el conjunto de todos los números reales excepto el 1 y el rango (y) es el conjunto de todos los números reales excepto -2. Sin embargo, podemos simplificar esta ecuación:

$$f(x) = \frac {(x-3)(x-1)}{x - 1}$$

que es igual a

$$f(x) = x-3$$

Ahora, el dominio y el rango de esta simplificada de la ecuación es diferente; ahora son el conjunto de todos los números reales.

Mi pregunta es: al determinar el dominio y el rango, ¿tenemos que simplificar o no?. ¿La simplificación de la ecuación de producir diferentes dominios y los rangos? Estoy haciendo algo mal?

Answer 1

La segunda función, $f_2(x)=x-3$ es igual al original, $f(x) = \frac {x^2 - 4x + 3 }{x - 1}$ menos que sea para un único punto de $x=1$ donde $f(x)$ no está definido.

Si definimos $f(1)=2$ las dos funciones serán equivalentes, es decir, representan la misma función.

En ese caso hablamos de una discontinuidad removible de $f(x)$ a $x=1$.

Answer 2

Siempre debemos estado de nuestro dominio a la hora de definir nuestra función.

La función original es $f: \mathbb{R} \setminus \{1 \} \to \mathbb{R}$

$$f(x) = \frac{(x-3)(x-1)}{x-1}.$$

Es bien defiend en $\mathbb{R} \setminus \{ 1\}$ pero no está definida cuando $x=1$.

En comparación a la función de $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

$$g(x)=x-3$$

$f$ e $g$ son funciones diferentes, porque el dominio es diferente.

Cuando esa pregunta se le pide, la práctica común es tratar a $f$ como $f$ e no $g$.