Yo don ' t entender el resultado de esto: $\int e^x\cos(2x) \, dx$

Question

Lo siento por el simple pregunta, creo que cuando yo encontrar la respuesta voy a ser como "el ujo de cómo no me di cuenta de esto..." por Desgracia soy malo en matemáticas y necesito ayuda en esto. Así que no entiendo el resultado de esto: $$\int e^x\cos(2x)\,dx$$

Bueno lo he integrado por partes dos veces y obtuve esto: $$e^x\cos(2x)-\left( -2e^x\sin(2x)+4\int e^x\cos(2x)\,dx \right)$$

Así nos encontramos con nuestra inicial integral de aquí y por lo que podemos aislar. Pero el resultado es: $$\int e^x\cos(2x)\,dx = \frac{2e^x\sin(2x)+e^x\cos(2)}5 +C$$

Estoy teniendo problemas para aislar nuestra integral. No tengo idea de lo que sucedió a las 4 de la multiplicación de la integral y no tengo idea de donde esta $5$ vino.

Answer 1

Ver que la integral original hizo estallar hacia fuera en el lado derecho. Así que llame a la integral:

<span class="math-container"> $$I=\int e^x \cos{2x} \space dx$$ </span>

Ahora tienes que: <span class="math-container">%#% $ #%</span>

Y ahora sólo se puede resolver para I (tienes una ecuación), y tiene su integral (además de la constante, por supuesto):

<span class="math-container"> $$I=e^x \cos{2x}+2e^x \sin{2x} -4I$$ </span>

Answer 2

Tenga en cuenta que si distribuimos el signo menos como comentario de Zach sugerido, obtenemos

<span class="math-container"> $$\int e^x\cos(2x)\,dx=e^x\cos(2x)+2e^x\sin(2x)-4\int e^x\cos(2x)\,dx).$$ </span>

Además, si agrego <span class="math-container">$4\int e^x\cos(2x)\,dx$</span> a ambos lados, entonces tengo

<span class="math-container"> $$5\int e^x\cos(2x)\,dx=e^x\cos(2x)+2e^x\sin(2x).$$ Finally, dividing both sides by <span class="math-container">$5$</span> achieves <span class="math-container"> $$\int e^x\cos(2x)\,dx=\frac{e^x\cos(2x)+2e^x\sin(2x)}{5},$$ </span> to which you would only need add a <span class="math-container">$+ C$</span> a.</span>

Answer 3

<span class="math-container">\begin{align} & \int e^x\cos(2x)\,dx \[10pt] = {} & e^x\cos(2x)-\left( -2e^x\sin(2x)+4\int e^x\cos(2x)\,dx \right) \[10pt] \text{Adding } & 4\int e^x \cos(2x)\,dx \text{ to both sides yields} \[10pt] & 5\int e^x\cos(2x)\,dx = e^x\cos(2x) + 2e^2\sin(2x) + \text{constant.} \[10pt] \text{Then } & \text{divide both sides by %#%#%.} \end {Alinee el}</span>

Answer 4

@ Respuestade Villa y ahora que sabes cómo solucionarlo, puede sustituir $e^{x}$ $e^{ax}$ y $\cos(2x)$ $\cos(bx)$ y luego puede derivar:

$$\int e^{ax}\cos(bx)\,dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}\left(a\cos(bx)+b\sin(bx)\right)$$

También,

$$\int e^{ax}\sin(bx)\,dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}\left(a\sin(bx)-b\cos(bx)\right)$$

Esto le ahorrará tiempo.