ODE no lineal de primer orden con Bernoulli

Question

Tengo un problema con esta ecuación:$ y'(x)-xy(x)=-xy^4(x) $ con la condición inicial$ y(x_{0})=y_{0}$. Llegué para demostrar que$ y_{0}= (Ce^{-\frac{3}{2}x_{0}^{2}}+1)^{-3} $ pero ahora no puedo seguir. Además, la solución de WolframAlpha es casi imposible ...

¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

Sugerencia: escriba esto como $$\frac{y'(x)}{y(x)-y(x)^4}=x$ $

Answer 2

Vamos a resolver la ecuación diferencial de Bernoulli $$y'(x)-xy(x)=-xy(x)^4$$ with initial condition $ y (x_0) = y_0$. Dividing by $ y ^ 4$ and setting $ u = y ^ {- 3} $, tenemos el lineal ODE $$ \ frac {1} {3} u '(x) + xu (x) = x $$ con condición inicial$u (x_0)={y_0}^{-3}$. La solución obtenida al integrar el factor lee \begin{aligned} u(x) &= e^{-3 (x^2-{x_0}^2)/2} \left({y_0}^{-3} + 3 \int_{x_0}^x t e^{3t^2/2} \,\text d t \right) \\ &= e^{-3 (x^2-{x_0}^2)/2} \left({y_0}^{-3} + e^{3x^2/2} - e^{3{x_0}^2/2} \right) , \end {alineado} de donde se deduce$y=u^{-1/3}$.

Answer 3

Tenemos $$C=e^{\frac{3{x_0}^2}{2}}({y_0}^{-1/3}-1)$ $

Answer 4

Sustituir $z=1/y^3$% $$z'+3xz=3x$$ Esta ecuación es separable $$z'=3x(1-z)$ $ $$\int \frac {dz}{1-z}=\frac 32{x^2}+C$ $ $$-\ln ({z-1})=\frac 32{x^2}+C$ $ $$\implies y^3(x)=\frac 1 {Ke^{-3x^2/2}+1}$ $

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Por lo tanto, $$y_0^3=\frac 1 {Ke^{-3x_0^2/2}+1}$ $ $${Ke^{-3x_0^2/2}}=\frac 1 {y_0^3}-1$ $ $$K=\left (\frac 1 {y_0^3}-1 \right)e^{3x_0^2/2}$ $

Answer 5

Para llegar a una mejor comprensión de mi problema, voy a escribir de todos los pasajes.

$\frac{y^{'}}{y^{4}}=\frac{xy}{y^{3}}-x\rightarrow \frac{y^{'}}{y^{4}}=xy^{-3}-x$

Ahora me puse a$z=y^{-3}\rightarrow z^{'}=-3xz+3x$.

$y_{0}(x)=Ce^{A(x)}\rightarrow A(x)=\int -3xdx=-\frac{3}{2}x^{2}\rightarrow y_{0}(x)=Ce^{-\frac{3}{2}x^{2}}$

$y_{p}(x)=e^{A(x)}B(x)\rightarrow B(x)=\int -3x\cdot e^{A(x)}dx=\int -3x\cdot e^{\frac{3}{2}x^{2}}dx$

Ahora me puse a$\frac{3}{2}x^{2}=t\rightarrow dt=3xdx\rightarrow dx=\frac{dx}{3x}$

Desde $\int -3xe^{t}\frac{dt}{3x}=-e^{\frac{3}{2}x^{2}}\rightarrow y_p{x}=1$, obtengo $y(x)=Ce^{-\frac{3}{2}x^{2}}+1$. Pero desde $y^{-3}=z$...el resultado que me escribió.