¿Qué es una posible sustitución a este ODE?

Question

Tengo que resolver esta ODA:

$$ (y-2x)\frac{dy}{dx}=3y-6x+1 $$

Tengo que hacerlo en una forma de separarse de la variable de la ecuación y por lo que he probado las siguientes sustituciones: $$ u=y-2x $$ y $$ u=3y-6x+1 $$

Pero ninguno lo hizo "solucionable", por ejemplo, en el primer llego a un punto donde tengo este: $$ \frac{e^{y-2x}}{|y-2x|}=x+K $$ donde K es cualquier constante. En este momento soy incapaz de resolver para y.

Alguien me puede ayudar a resolver esto?

Answer 1

$$(y-2x)\frac{dy}{dx}=3y-6x+1$ $ Sustituir $y-2x=z \implies y'-2=z'$% $$z(z'+2)=3z+1$$ $$zz'=z+1$ $ $$\int \frac {zdz}{z+1}=x+K$ $ $$z-\ln (z+1)=x+K$ $ $$y -\ln(y-2x+1)=3x+K$ $ El formulario implícito también es correcto. Entonces puedes mantenerlo así

O considere x como una función de y $$x(y)=\frac 13(y-\ln(y-2x+1))+c$ $

Answer 2

A partir de la respuesta de Isham .

Usando $$3x+c=y-\ln(y-2x+1)$ $ la solución explícita está dada por $$y=-W\left(-e^{-(x+c+1)}\right)+2 x-1$ $ donde aparece la función Lambert .

Usando la condición $y(x_0)=y_0$ , obtenemos $$c=-\log \left(-(2 x_0-y_0-1)\, e^{(2 x_0-y_0-1)}\right)-x_0-1$ $ y luego $$y=-W\left((2 x_0-y_0-1) e^{(3 x_0-y_0-x-1)}\right)+2 x-1$ $