Deje $A \in M_n(\mathbb R)$ con ninguna estructura particular asume y el radio espectral $\rho(A) < 1$. Deje que nos indican el todos los $1$ vector por $e = (1, \dots, 1)^T$. Me gustaría determinar un número $\tau \in \mathbb R_+$ tal que $\rho(A \pm \tau e e^T) < 1$. Ya sabemos $\{X \in \mathbb R: \rho(X) < 1\}$ está abierto, siempre podemos tener algún número positivo $\tau$. Yo sería feliz si podemos encontrar un número $\tau = \tau(A)$ depende de $A$ tal que sea suficiente para garantizar la $\rho(A\pm \tau ee^T)<1$.
Respuesta
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En este post, vamos a suponer que $A$ es simétrica (de lo contrario no veo lo que para mostrar).
Deje $spectrum(A)=\{\lambda_1\geq \cdots\geq\lambda_n\}$. Podemos suponer que la $\rho(A)=\lambda_1\geq 0$.
$\textbf{Proposition 1}.$ Si $\tau< \dfrac{1-\rho(A)}{n}$, a continuación, $\rho(A\pm \tau ee^T)<1$.
$\textbf{Proof}$. Deje $U=ee^T$ (simétrica $\geq 0$). Tenga en cuenta que $\rho(U)=n$ e $\rho(A+\tau U)\leq \lambda_1+\tau n<1$.$\square$
Podemos hacerlo mejor cuando $\rho(A)$ está cerrado a $1$, que asumimos en la secuela.
$\textbf{proposition 2}$. Deje $\theta =\sup\{|u_1+\cdots+u_n|; Au=\rho(A) u,||u||=1\}$.
a continuación, $\rho(A\pm \tau ee^T)<1$ cuando $\tau<\tau_0$ donde $\tau_0\approx \dfrac{1-\rho(A)}{\theta^2}$.
$\textbf{Proof}$. Deje $A(\tau)=A+\tau U$; es una analítica de la función. Entonces los autovalores y una base (unidad de longitud) vectores propios de a$A(\tau)$ a nivel mundial se analíticamente parametrizable (incluso si los valores propios (por ejemplo, $\rho(A)$) presentan algunos mutiplicities.
Deje $u(\tau)$ ser un vector unitario de la función ($u^Tu'=0$).t. $A(\tau)u(\tau)=\lambda(\tau)u(\tau)$. A continuación, $A'u+Au'=\lambda'u+\lambda u'$ y, en consecuencia, $\lambda'=u^TA'u=u^TUu=(u_1+\cdots+u_n)^2$.
Finalmente, $\lambda(\tau)\approx \rho(A)+\tau \theta^2$. Tenga en cuenta que $\theta^2\leq n$.
