En primer lugar, quiero reiterar mi comentario anterior a la OP, creo que ese vacío estructuras deben permitir siempre, tanto en álgebra universal y en el modelo de la teoría. Nada va muy mal cuando los incluyen.
Pero me deja jugar al abogado del diablo por un momento y señalar una cosa que podría parecer ir mal: ultraproducts (ver Secciones IV.6 y V. 2 en Burris y Sankappanavar). Deje $(A_i)_{i\in I}$ ser una familia de álgebras, indexados por el conjunto de $I$, y deje $U$ ser un ultrafilter en $I$. A continuación, el ultraproduct se define como el cociente del producto $\prod_{i\in I} A_i$ por la congruencia $\theta_U$, definido por $((a_i), (b_i))\in \theta_U$ si y sólo si $\{i\in I\mid a_i = b_i\}\in U$.
Ahora que realmente nos gusta tener Łoś del teorema, que dice (en un caso especial) que una identidad se mantiene en el ultraproduct si y sólo si el conjunto de factores sobre los que se sostiene es en $U$. Pero observe que si alguna $A_i$ está vacío, el producto de la $A_i$ está vacía, por lo que el ultraproduct está vacía. Ahora Łoś del teorema puede fallar: por ejemplo, suppse $U$ es un no-director de ultrafilter, una $A_{i^*}$ está vacía, y todos los otros $A_i$ tiene al menos $2$ elementos. A continuación, la identidad de $x = y$ retenciones en la ultraproduct (vacuously), pero el conjunto de $i\in I$ que tiene en $A_i$ es el singleton $\{i^*\}$, que no es en $U$.
Pero esto sólo significa que estamos usando la definición incorrecta de ultraproduct! La definición correcta es: $$\prod_{i\in I} A_i/U = \varinjlim_{X\in U} \prod_{i\in X} A_i.$$
Aquí nos fijamos en cada conjunto $X\subseteq I$ en el ultrafilter, y tomar la $X$-indexada producto $\prod_{i\in X} A_i$. Siempre que $Y\subseteq X$, tenemos un mapa de proyección $\pi^X_Y$ de la $X$-indexada producto a la $Y$-indexada producto. El sistema resultante de los productos y la conexión de los mapas se dirige (desde $U$ es un filtro), y tomamos la dirigida colimit.
Esta definición da una ultraproduct que es isomorfo a la antigua, en el caso de todos los de la $A_i$ son no vacíos. Pero le da un no-vacío ultraproduct cuando el conjunto de no-vacío factores es en $U$, y permite demostrar Łoś del teorema en este contexto.
