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¿Podemos demostrar 12 utilizando métodos intuicionistas?

¿Podemos demostrar 12 utilizando métodos intuicionistas? Es trivial de demostrar convencionalmente a partir de los axiomas de Peano, pero parece requerir una prueba por contradicción.

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sewo Puntos 58

Supongamos que S(0)=S(S(0)) .

Uno de los axiomas de Peano dice que S(x)=S(y)x=y por lo que concluimos inmediatamente 0=S(0) . Pero esto contradice el axioma x(0S(x)) .

Así S(0)S(S(0)) .

Este razonamiento es intuitivamente válido. Es no prueba por contradicción sino simplemente la regla de introducción de la negación que es permitidos en la lógica intuicionista:

Γ,PΓ¬P¬-intro

La prueba real por contradicción (que no está permitida en la lógica intuicionista) sería Γ,¬PΓPr.a.a.

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Usted asume S(0)=S(S(0)) se obtiene la contradicción 0=S(0)0S(0) . ¿No es esto una prueba por contradicción?

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O más exactamente, si se parte de Γ y ¬P y deducir una contradicción, se puede concluir ¬(¬P) . Lo que la lógica intuicionista no permite hacer es pasar de ¬(¬P) a P en general.

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@DanChristensen: No, como explico en esta misma respuesta Eso no es una prueba por contradicción.

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