¿Podemos demostrar $1\neq 2$ utilizando métodos intuicionistas? Es trivial de demostrar convencionalmente a partir de los axiomas de Peano, pero parece requerir una prueba por contradicción.
Supongamos que $S(0)=S(S(0))$ .
Uno de los axiomas de Peano dice que $S(x)=S(y) \to x=y$ por lo que concluimos inmediatamente $0=S(0)$ . Pero esto contradice el axioma $\forall x(0\ne S(x))$ .
Así $S(0)\ne S(S(0))$ .
Este razonamiento es intuitivamente válido. Es no prueba por contradicción sino simplemente la regla de introducción de la negación que es permitidos en la lógica intuicionista:
$$ \frac{\Gamma, P\vdash \bot}{\Gamma \vdash \neg P}\;\neg\,\text{-intro} $$
La prueba real por contradicción (que no está permitida en la lógica intuicionista) sería $$ \frac{\Gamma, \neg P\vdash \bot}{\Gamma\vdash P}\;\text{r.a.a.}$$
Usted asume $S(0)=S(S(0))$ se obtiene la contradicción $0=S(0) \land 0\neq S(0)$ . ¿No es esto una prueba por contradicción?
O más exactamente, si se parte de $\Gamma$ y $\neg P$ y deducir una contradicción, se puede concluir $\neg(\neg P)$ . Lo que la lógica intuicionista no permite hacer es pasar de $\neg(\neg P)$ a $P$ en general.
@DanChristensen: No, como explico en esta misma respuesta Eso no es una prueba por contradicción.
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