(Combinatorial?) Prueba de la identidad$\sum_{k=1}^n \frac {(-1)^k}{k\,(k+1)}\binom nk = \frac 12 + \frac 13 + \dots + \frac 1{n+1}$?

Question

Recientemente me he encontrado con un interesante identidad: $$ \frac 1{1\cdot 2}\binom n1 - \frac 1{2\cdot 3}\binom n2 + \frac 1{3\cdot 4}\binom n3 - \dots + \frac {(-1)^n}{n\cdot (n+1)}\binom nn = \frac 12 + \frac 13 + \dots + \frac 1{n+1}. $$

¿Alguien tiene una idea de cómo probar esto?

PS. Sería de especial interés si alguien podría proporcionar un enfoque combinatorio a este problema, aunque no estoy seguro de si lo que había sentido ya que es una identidad para no enteros.

Edit: tal vez mi pregunta estaba formulada de una manera que parece trivial, puesto que hay un voto para cerrar esta pregunta. Yo debería haber mencionado que puedo probarlo por la expansión de $\frac 1{k(k-1)}$ y hacer algunas de cálculo. Lo que yo quiero es una inteligente manera de interpretar, por ejemplo, el uso de la combinatoria o algún tipo de generación de función o de la integración.

Answer 1

Respuesta a la Pregunta $$ \begin{align} f(n) &=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k(k+1)}\binom{n}{k}\tag1\\ &=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k(k+1)}\left[\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}\right]\tag2\\ &=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k-1}}{k(k+1)}\binom{n-1}{k} +\frac1{n(n+1)}\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n+1}{k+1}\tag3\\ &=f(n-1)+\frac1{n(n+1)}\sum_{k=-1}^0(-1)^k\binom{n+1}{k+1}\tag4\\ &=f(n-1)+\frac1{n+1}\tag5\\[9pt] &=H_{n+1}-1\tag6 \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: definir $f$
$(2)$: Pascal Regla
$(3)$: $n(n+1)\binom{n-1}{k-1}=k(k+1)\binom{n+1}{k+1}$
$(4)$: aplicar el Teorema del Binomio para $(1-1)^{n+1}$
$(5)$: evaluar la suma
$(6)$: resolver la recurrencia

---

La prueba de $\boldsymbol{(1)}$ desde el Dr. Wolfgang Hintze la Respuesta

Este procede de la misma manera como en la respuesta de arriba, así que lo voy a incluir. $$ \begin{align} g(n) &=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k}\binom{n}{k}\tag{a}\\ &=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k}\left[\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}\right]\tag{b}\\ &=g(n-1)+\frac1n\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n}{k}\tag{c}\\ &=g(n-1)+\frac1n\tag{d}\\[12pt] &=H_n\tag{e} \end{align} $$ Explicación:
$\text{(a)}$: definir $g$
$\text{(b)}$: Pascal Regla
$\text{(c)}$: $n\binom{n-1}{k-1}=k\binom{n}{k}$
$\text{(d)}$: aplicar el Teorema del Binomio para $(1-1)^n$
$\text{(e)}$: resolver la recurrencia

Answer 2

Para la solución de ver post original a continuación

EDITAR

Aquí están directa de las pruebas de (1), (2) y (3), cada uno en una secuencia de

ad (1)

$$H_{n} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^n \int_0^1 y^{k-1}= \int_0^1\,dy \sum_{k=1}^n y^{k-1}= \int_0^1\,dy \frac{1-y^n}{1-y} \\({y\to 1-x})=\int_0^1\,dx \frac{1}{x} \left(1-(1-x)^n\right)= \int_0^1\,dx \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\binom{n}{k} x^{k-1} \\= \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\binom{n}{k}\int_0^1\,dx\; x^{k-1} = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\binom{n}{k}\frac{1}{k}$$

QED.

ad (2)

$$\sum _{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1} }{k+1}\binom{n}{k}=\sum _{k=1}^n (-1)^{k+1}\binom{n}{k} \int_0^1 x^k \,dx =\int_0^1 \,dx \sum _{k=1}^n (-1)^{k+1}\binom{n}{k} x^k \\= \int_0^1 \, dx \left(1-(1-x)^n\right)= 1-\frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} $$

QED.

ad (3)

$$\sum _{k=1}^n (-1)^{k+1} \binom{n}{k} \frac{1}{a+k}=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \binom{n}{k} \int_0^1 \,dx x^{a+k-1}\\=\int_0^1\,dx x^{- 1} \sum _{k=1}^n (-1)^{k+1} \binom{n}{k} x^{k}=\int_0^1\,dx x^{- 1} \left(1-(1-x)^n\right)\\= \frac{1}{a} - \int_0^1\,dx x^{- 1} (1-x)^n= \frac{1}{a} - \text{Beta}(a,n+1)= \frac{1}{a} - \frac{\Gamma(a) \Gamma(n+1)}{\Gamma(a+n+1)}$$

QED.

Comentario

La combinación de (3) y (1) vemos que

$$H_{n} = \lim_{a\to0}\left( \frac{1}{a} - \frac{\Gamma(a) \Gamma(n+1)}{\Gamma(a+n+1)}\right)\tag{4a}$$

Para hacer esto explícito de escribir el r.h.s como

$$\frac{1}{a} \left( 1- \frac{\Gamma(a+1) \Gamma(n+1)}{\Gamma(a+n+1)}\right)=\frac{\Gamma(a+n+1)-\Gamma(a+1) \Gamma(n+1)}{a\Gamma(a+n+1)} $$

y, a continuación, aplicar l'Hospital para llegar a

$$H_{n} =\frac{ \frac{\partial (\Gamma (a+n+1)-n! \Gamma (a+1))}{\parcial}\text{/.}\, un\to 0} {\frac{\partial (\Gamma (a+n+1))}{\parcial}\text{/.}\, un\to 0} = \frac{ \Gamma' (n+1)-n! \Gamma' (1)} {\Gamma(n+1)}\\= \frac{ \Gamma' (n+1)}{\Gamma(n+1)}+ \gamma = \frac{\partial \log (\Gamma (n+1))}{\partial n}+\gamma= \psi ^{(0)}(n+1)+\gamma\etiqueta{4b}$$

Aquí $\gamma= -\Gamma'(1)$ es el de Euler-Mascheroni constante y $\psi$ es el polygamma función.

Post Original

Este no es el solicitado combinatorical interpretación, pero hay algunos interesantes identidades apareciendo.

Restando estas dos interesantes relaciones

$$\sum _{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k} \binom{n}{k} = H_{n}\tag{1}$$

y

$$\sum _{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{1+k} \binom{n}{k} = \frac{n}{1+n}\tag{2}$$

y la observación de

$$\frac{1}{k}-\frac{1}{1+k}= \frac{1}{k(k+1)}$$

nos encontramos con que el lado izquierdo es el de la fórmula, se tiene que probar, mientras que el lado derecho da

$$H_{n}-\frac{n}{1+n} = H_{n+1}-1$$

lo que demuestra que el OP.

Aquí hemos utilizado la relación básica

$$H_{n}+\frac{1}{1+n} =H_{n+1} $$

Comentarios

1) me pareció sorprendente que la pequeña diferencia en el l.h.s. de (1) y (2) conduce a una apreciably resultados diferentes.

2) las fórmulas (1) y (2) pueden ser generalizados a

$$\sum _{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{a+k} \binom{n}{k} = \frac{1}{a}-\frac{\Gamma (a) \Gamma (n+1)}{\Gamma (a+n+1)}\tag{3}$$

Answer 3

Sugerencia : $$\frac{1}{k\cdot(k+1)}\binom{n}{k}=\Big(\frac{(k+1)-k}{k\cdot (k+1)}\Big)\binom{n}{k}=\Big(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \Big)\binom{n}{k}$ $

Answer 4

Aquí está una (tímida) intento de dar un combinatorical interpretación de la fórmula más simple

$$\sum _{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k} \binom{n}{k} = H_{n}\tag{2.1}$$

utilizando el principio de inclusión/exclusión.

Considerar un conjunto de subconjuntos $A_{i}, i=1..n$ y definir una medida $N(.)$ con la propiedad

$$N(A_{i})=1, N(A_{i}\cap A_{j})=\frac{1}{2},N(A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k})=\frac{1}{3}, ... \tag{2.2}$$

A continuación, la medida de la unión de los conjuntos, es decir, la expresión

$$x=N(A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n})$$

se expande en la que, considerando el caso de $n=3$,

$$x= N(A_{1})+N(A_{2})+N(A_{3}) \\- N(A_{1}\cap A_{2})-N(A_{1}\cap A_{3})-N(A_{2}\cap A_{3}) \\+ N(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3})$$

Esto ahora puede ser escrito como

$$x=\\ 3 N(A_{1})-3 N(A_{1}\cap A_{2})+N(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) \\ =\binom{3}{1} \frac{1}{1} - \binom{3}{2} \frac{1}{2} + \binom{3}{3} \frac{1}{3} $$

que es exactamente el l.h.s. de (2.1) por $n=3$.

Ahora, esto se generaliza a cualquier $n=1, 2, 3, ...$.

Que esta medida de la unión está dada por $H_{n}$ es un resultado que por lo menos yo no soy capaz de derivar de forma independiente. De ahí el intento de interpretación es incompleta.

Me gustaría preguntarle al lector por las fuertes críticas y la mejora de este intento.