¿Por qué es $T_1$ requerido para un espacio topológico a ser $T_4$?

Question

Digamos que tenemos algo de espacio topológico.

Axioma $T_1$ afirma que para cualquier par de puntos $y \neq x$, hay un abrir vecindario $U_y$ $y$ tal que $x \notin U_y$.

Luego nos dice que un espacio topológico es $T_4$ si $T_1$ y también se cumple que para cualquier dos cerrados, no de intersección de los conjuntos de $A,B$, hay barrios $U_A,U_B$ respectivamente, tal que $U_A\cap U_B = \emptyset$.

Alguien puede dar un ejemplo de un espacio topológico que se cumple la segunda condición de $T_4$, pero que no es $T_1$?

Answer 1

Considere la posibilidad de un espacio topológico $X$ con dos (diferentes) puntos y la topología trivial (es decir, sólo $\emptyset$ $X$ están abiertos conjuntos).

Este espacio cumple la segunda condición de $T_4$: los dos únicos cerrado no intersección de conjuntos se $\emptyset$ $X$ y se puede tomar como abrir los vecindarios $U_\emptyset = \emptyset$$U_X = X$.

Pero $X$ no $T_1$, como se puede comprobar fácilmente.

$T_1$ (también llamado Fréchet espacio) es equivalente al hecho de que cada punto es un conjunto cerrado (ejercicio: probar esto!). Por lo tanto, si usted tuvo una regular el espacio ($T_3$) $X$ que no era $T_1$, no se podía decir que $X$ $T_2$ (o Hausdorff); es decir, no se podía decir que $T_3 \Rightarrow T_2$.

Así, es necesario añadir el $T_1$ condición a $T_3$ $T_4$ para tener la hermosa secuencia de implicaciones que nos hace a todos felices :-)

$$ T_4 \ \text{(normal)} \ \Longrightarrow \ T_3 \ \text {()} \ \Longrightarrow \ T_2 \ \text{(Hausdorff)} \ \Longrightarrow \ T_1 \ \text{(Fréchet)} $$

Answer 2

Como una adición: la separación cerrados disjuntos de los conjuntos de la parte a menudo se llama la normalidad (un espacio que es normal si satisface esta), por lo $T_4$ es normal plus $T_1$, y del mismo modo para regular: $T_3$ es regular y $T_1$. Espacios que no tienen disjuntos no vacíos conjuntos cerrados (además de la topología trivial, tenemos ejemplos como los de $\mathbf{N}$ con la topología generada por los conjuntos de la forma $U(n) = \{ k : k \ge n \}$ por ejemplo) trivialmente satisfacer a la normalidad. $T_4$ es para evitar estas patologías: la $T_1$ asegura que al menos todos los finita de conjuntos cerrados, así que vamos a tener "relevante" conjuntos cerrados para aplicar la normalidad...