Verificar una prueba de matriz dada$A = A^2$

Question

Problema

Dada una matriz arbitraria $ A = A^2 $, demuestran que, a $ I - 2A = (I - 2A)^{-1}.$

Intento

$$ I - 2A = (I - 2A)^{-1} $$ $$ (I - 2A)(I - 2A) = (I - 2A)(I - 2A)^{-1} $$ $$ (I - 2A)(I - 2A) = I $$ $$ (I - 2A)^2 = I $$

Aquí es donde no estoy seguro de si la propiedad distributiva puede ser aplicado a la siguiente ecuación. Suponiendo que puede ser,

$$ (I - 2A)^2 = I $$ $$ I^2 - 4A + 4A^2 = I $$ $$ I^2 - 4A + 4A = I $$ $$ I^2 = I $$ $$ I = I $$ $$ [LHS] = [RHS] $$

Notas

Es posible demostrar esta propiedad está satisfecho sin necesidad de utilizar la propiedad distributiva como lo hice anteriormente? Y ¿cuál sería un ejemplo de una matriz que satisface esta propiedad?

La solución a la Prueba

Después de revisar y entender las múltiples soluciones, incluyendo la de @JMoravitz, he llegado a la siguiente solución.

Considere la posibilidad de $ (I - 2A)^{2} $. Primero debemos demostrar que $ (I - 2A)^{2} = I$.

$$ (I - 2A)^2 = (I - 2A)(I - 2A) $$ $$ (I - 2A)^2 = I^2 - 4A + 4A^2 $$ $$ (I - 2A)^2 = I^2 - 4A + 4A $$ $$ (I - 2A)^2 = I^2 $$ $$ (I - 2A)^2 = I $$

Por lo tanto, $ I - 2A $ es la inversa de a$ I - 2A $, por la definición de la inversión de matrices.

Un ejemplo de este tipo de matriz que satisface esta propiedad es la $ I_{2 \times 2} $ matriz, la cual es una matriz idempotente.

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Answer 1

Usted dice que $A=A^2$ y de esto se debe demostrar que $(I-2A)=(I-2A)^{-1}$.

Reformulado, dejando $P$ ser la proposición de que $A=A^2$ y dejando $Q$ ser la proposición de que $(I-2A)=(I-2A)^{-1}$ tenemos que demostrar que el $P\implies Q$

En su intento, tratado de demostrar que la $(Q\wedge P)\implies\textbf{True}$. Esta es no es la misma cosa como la demostración de que $P\implies Q$. Comenzó con lo que se quiere mostrar. Esto no está permitido.

Tener en cuenta para un contraejemplo, la afirmación de que si $p$ es un número primo, entonces es igual a $2$. Que es, $p\text{ is prime}\implies p=2$. Usted debe saber que esta es una falsa implicación, por ejemplo, $3$ ser un número primo distinto a $2$. En su intento, es como si usted comenzó su prueba diciendo "*Deje $p=2$ (y deje $p$ ser un número primo). A continuación, $2=2$, por lo tanto todos los números primos son iguales a $2$.*"

En su lugar, usted debe comenzar con tu hipótesis y el trabajo hacia el resultado deseado. (Es cierto que a veces es útil trabajar hacia atrás, comenzando con el resultado deseado y la realización de manipulaciones, sin embargo esto es peligroso. Sobre todo cuando algunos de los pasos no son bicondicional, por ejemplo tomando raíces cuadradas o dividir por las incógnitas que podría ser cero).

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El inicio de una correcta prueba. Supongamos que $A=A^2$. Considere la posibilidad de $(I-2A)^2$. Queremos demostrar que $(I-2A)^2=I$ que luego implica que $(I-2A)=(I-2A)^{-1}$.

$(I-2A)^2 = (I-2A)(I-2A)=\cdots$

$=I-4A+4A^2=I-4A+4A=I$

Para responder a su pregunta acerca de si o no la propiedad distributiva de obras para matrices, sí! Usted tiene para matrices de dimensión adecuada $(A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD$. Sin embargo tenga cuidado y recuerde que la mayoría de las matrices no conmuta con simpatia, así, por ejemplo, $(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2$ es potencialmente diferente de $A^2+2AB+B^2$. La identidad de las matrices de hacer siempre conmuta con todo.

Answer 2

Sí, se puede aplicar la propiedad distributiva con matrices, pero tenga cuidado con la multiplicación (debe conservar el orden), porque no es conmutativa, por ejemplo:

$$(A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD$$

Un ejemplo de una matriz de satisfacciones $A=A^2$ es $ \begin{bmatrix} 2&-2&-4 \\ -1&3&4 \\1&-2&-3 \end{bmatrix}$.

Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Idempotent_matrix

Answer 3

Dicha transformación lineal, $A^2=A$ , se denomina proyección .

Por ejemplo, una proyección ortogonal:

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ $ .

Parece que tiene todos los elementos de una prueba de que $I-2A=(I-2A)^{-1}$ ...