Demostración "categórica" de una afirmación aparentemente simétrica sobre los módulos noetherianos/artianos

Question

Hay dos afirmaciones que me parecen bastante simétricas: Dejemos que $A$ sea un anillo, $M$ un $A$ -y $f : M \to M$ .

Si $M$ es noetheriano y $f$ es suryente, entonces $f$ es inyectiva.

Si $M$ es artiniano y $f$ es inyectiva, entonces $f$ es suryente.

Las pruebas también parecen simétricas en cierto sentido: en el primer caso se construye la cadena creciente de ideales $0 \subset \ker f \subset \ker f^2 \subset \dots$ que es estricto cuando $f$ es sobreyectiva pero no inyectiva. En el segundo caso se utiliza la inyectividad de $f$ para construir la cadena decreciente de ideales $M \supset im \, f \supset im \, f^2 \supset \dots$ que es estricto cuando $f$ es inyectiva pero no suryente. Sin embargo, se pierde cierta simetría en la afirmación de la última parte ("que es estricta cuando $f$ es __ pero no __"). En el primer caso utilizo el hecho $\ker f^n = \ker f^{n+1}$ implica que $f$ es inyectiva en $im \, f^n = M$ . En el segundo caso utilizo el hecho de que $M \supsetneq im \, f$ implicaría que $im \, f^n \supsetneq im \, f^{n+1}$ porque los mapas inyectivos preservan las inclusiones estrictas.

Mi pregunta es: ¿hay alguna forma de demostrar una de las afirmaciones en la categoría/marco apropiado de manera que la otra se derive de algún tipo de inversión fórmica de las flechas? Esta es definitivamente una pregunta blanda porque no estoy seguro de lo que podría significar, pero las dos situaciones parecen lo suficientemente simétricas como para que esto pueda ser plausible.

Answer 1

¡Sí! Ambos son casos especiales de una afirmación general:

Si $M$ es un objeto noetheriano en una categoría abeliana y $f:M\to M$ es un epimorfismo, entonces $f$ es un monomorfismo.

Aquí un objeto es "noetheriano" si toda cadena ascendente de subobjetos se estabiliza. La prueba es exactamente la misma que en el caso de los módulos: mira la cadena ascendente $0 \subset \ker f \subset \ker f^2 \subset \dots$ (aunque cuesta un poco más demostrar que esta cadena es estrictamente ascendente en una categoría abeliana abstracta que en el caso de los módulos).

Ahora bien, ¿cómo implica esto la versión artiniana? Bueno, la frente a categoría de $A$ -es también una categoría abeliana, por lo que podemos aplicar el resultado en esa categoría. ¿Qué significa para $M$ para ser un objeto noetheriano en la categoría opuesta a $A$ -¿módulos? Bien, un subobjeto es un monomorfismo $N\to M$ (hasta el isomorfismo), que sería un epimorfismo $M\to N$ en la categoría original. Pero tal epimorfismo está determinado (hasta el isomorfismo) por su núcleo, que es un subobjeto de $M$ . Así que los subobjetos de $M$ en la categoría opuesta están naturalmente en biyección con los subobjetos de la categoría original.

Sin embargo, esta biyección invierte el orden de inclusión en los subobjetos. En efecto, supongamos que $N\to M$ y $P\to M$ son dos subobjetos de $M$ en la categoría opuesta, con $N$ contenida en $P$ . Eso significa que podemos factorizar el mapa $N\to M$ como $N\to P\to M$ . En la categoría original, entonces, esto significa que podemos factorizar el mapa cociente $M\to N$ como $M\to P\to N$ . Esto es posible si y sólo si el núcleo de $M\to N$ contiene el núcleo de $M\to P$ . En otras palabras, $N$ está contenida en $P$ como subobjetos en la categoría opuesta si el subobjeto de la categoría original correspondiente a $P$ está contenido en el subobjeto de la categoría original correspondiente a $N$ .

Esto significa que $M$ es noetheriano en la categoría opuesta si $M$ es artiniano en la categoría original, ya que el orden de los subobjetos se ha invertido. Aplicando el resultado en la categoría opuesta, concluimos que si $M$ es artiniano y si $f:M\to M$ es un monomorfismo, entonces $f$ es un epimorfismo.

Answer 2

Si se mira la prueba en el caso noetheriano, se ve que es es válida en una categoría abeliana general. (Un objeto noetheriano en una categoría abeliana es uno con ACC en subobjetos). Ahora usa el principio categórico principio de dualidad. Lo contrario de una categoría abeliana es una categoría abeliana noetheriana se convierte en artiniana, la inyectiva se convierte en suryectiva, etc. Así que el caso artiniano se deduce del caso noetheriano y viceversa .

Por supuesto, los libros de texto de álgebra no hacen esto, en gran parte porque lo contrario de una categoría de módulo rara vez es también una categoría de módulo.