Subconjunto de Cantor establece que isn ' t compacto

Question

Cómo probar que el conjunto de Cantor tiene un subconjunto que no es compacto? En realidad, quiero demostrar que todo conjunto infinito $X\subset\mathbb{R}^n$ tiene un subconjunto $Y$ que no es compacto. Si $X$ no es acotado, entonces $X$ tiene una ilimitada subconjunto $Y$ que no es compacto. Si $X$ es limitada e incluye algunos balón, $X$ incluye un abrir balón $Y$ que no es compacto. Pero si $X$ es limitada y no incluye a la pelota, como el conjunto de Cantor, no sé. Creo que puede ser más fácil empezar por el conjunto de Cantor, pero no estoy seguro. Me pueden ayudar?

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Si no hay punto de $X$ es un punto límite de $X$, entonces usted puede tomar $Y=X$. Si hay un $p\in X$que es un punto límite de $X$ %, muestran que existe una secuencia $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ $X\setminus{p}$ que converge a $p$ y que $Y={x_n:n\in\Bbb N}$.

Esto funciona con cualquier infinito $X\subseteq\Bbb R^n$.