Suma de la serie $\sum_{k=1}^\infty{-\frac{1}{2^k-1}}$

Question

¿Cuál es la suma de la serie $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{\frac{-1}{2^k-1}}$?

¿También, más en general, podemos encontrar $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{\frac{-1}{c^k-1}}$ $c$?

Answer 1

Ignorando el signo negativo, que usted está buscando

$$ {1 \over 2^1 - 1} + {1 \over 2^2 - 1} + {1 \over 2^3 - 1} + \cdots $$

pero tenemos

$$ {1 \over 2^{jk} - 1} = {1 \over 2^{jk}} + {1 \over 2^{2jk}} + {1 \over 2^{3jk}} + \cdots. $$

Si nos re-escribir la primera expresión que utiliza el segundo, entonces su suma es

$$ \left( {1 \over 2^1} + {1 \over 2^2} + {1 \over 2^3} + \cdots \right) + \left( {1 \over 2^2} + {1 \over 2^4} + {1 \over 2^6} + \cdots \right) + \left( {1 \over 2^3} + {1 \over 2^6} + {1 \over 2^9} + \cdots \right) + \cdots $$

y $1/2^r$ aparece $\tau(r)$ veces $\tau(r)$ es el número de divisores de a $r$. Por lo tanto su suma es

$$ \sum_{r \ge 1} \tau(r) 2^{-r} $$

y esto debería permitir a calcular a cualquier nivel deseado de precisión numérica con bastante rapidez. Por ejemplo,

$$ \sum_{r=1}^{40} \tau(r) 2^{-r} = {27602812537 \over 17179869184} = 1.606695152 $$

y el error aquí es menos de $\sum_{r \ge 41} r 2^{-r} = 84/2^{41} < 4 \times 10^{-11}$ desde $\tau(r) < r$ todos los $r \ge 3$.

Por supuesto, este método funciona al $2$ es reemplazado por cualquier constante $c > 1$.

Answer 2

Wolfram Alpha da una respuesta explícita para c = 2, aproximadamente-1.6067 y un lío explícito para c arbitrario.

Answer 3

Es la Constante de Erdős-Borwein. (salvo un signo menos)