¿El valor de la diferenciación como infinito implica continuidad?

Question

Me encuentro con la prueba del teorema del valor medio que se adjunta a continuación

Que tiene una suposición de que f tiene derivada (finita o infinita ) en cada punto interior y se supone continuidad en el punto final.
En la prueba se asume que la función f es continua en todo el intervalo.
Pero no me convence el hecho de que f tenga derivada infinita y continua en ese punto .
Intenté usar la definición que obtuve $|f(x)-f(y)|=|x-y|f'(c)$ un lado es infinito cómo mostrar para la continuidad.
También ¿Es posible tener una función que cada vez que la derivación infinito?
Creo que la pregunta es incorrecta, ya que no pude imaginar la función en todos los lugares como una línea vertical.
Pero, ¿se pregunta por si existe? Cualquier ayuda será apreciada

Editar:

Lo siento todo el mundo Como en el libro ya se especifica la definición que ya asume la continuidad de la función para definir la derivada.

Answer 1

Nota: A continuación estoy asumiendo la definición habitual de derivadas infinitas, es decir, que $f'(0)=+\infty$ si $\lim_{h\to0}(f(h)-f(0))/h=+\infty$ . Me han dicho que esa no es la definición que utiliza Apostol...

En el enunciado habitual del teorema de Rolle suponemos que $f$ es diferenciable en $(a,b)$ es decir, tiene una derivada finita.

Tienes razón, la existencia de una derivada infinita en un punto no implica continuidad. Y de hecho un simple contraejemplo para eso es también un contraejemplo para el teorema tal y como está planteado: Definir $f:[-1,1]\to\Bbb R$ por $$f(x)=\begin{cases}1-x,&(0<x\le 1), \\0,&(x=0), \\-1-x,&(-1\le x<0).\end{cases}$$

Entonces $f$ satisface todas las hipótesis pero no hay $x$ con $f'(x)=0$ .

Y, por supuesto, es fácil ver dónde falla la prueba: $f$ no asume un máximo o un mínimo en $(-1,1)$ .

¿En qué libro encontraste esta tontería?

Observa el teorema, con la definición habitual de la derivada como la anterior, se convierte en correcta si asume que $f$ es continua en $[a,b]$ .

Answer 2

Parece que Apostol exige continuidad en los puntos en los que la derivada se convierte en infinita. En todos los demás puntos, la derivada es un número real, y por tanto la función es continua allí. Se deduce que su función es continua en todas partes.