Encuentre el máximo y el mínimo de$f(x, y) = xy$ en$D = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2+2y^2 \leq 1 \right\}$

Question

Estoy un poco atrapado en este:

Encuentre el mínimo y el máximo de la función dada$f$ en$D$, donde$$f(x, y) = xy$$ and $$D = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+2y^2 \leq 1 \right\}$ $

No sé qué hacer con este dominio$D$. Conté los primeros derivados y obtuve solo el punto$(0,0)$ como posible máximo / mínimo dentro de$D$, pero ¿qué pasa con el límite de$D$? ¿Debería parametrizar esta elipse o cómo debería abordar esto? Gracias por tus consejos!

Answer 1

Obviamente, la función$f$ no tiene un extremo relativo dentro de la región deseada$D$. En el uso del método de rutina, encontraremos$(0,0)$ un punto de silla en el que$f_{xx}f_{yy}-(f_{xy}^2)<0$. Ahora considere$D$ y que$$x=\pm\sqrt{1-y^2}$$ Putting each parts $ x = +$ and then $ x = -$ separately we will find two one-variable functions $$f(y)=+y\sqrt{1-y^2}, ~~~f(y)=-y\sqrt{1-y^2}$$ I think you can find the relative extremes of these functions.... You have $ 4 $ points como yo trazado a continuación:

Answer 2

Como dijo anteriormente, los puntos críticos en la llanta se pueden encontrar mediante la parametrización. Para parametrizar la elipse, use lo siguiente:$x=\cos(t)$ y$y=2\sin(t)$ En cuanto al resto del intervalo, primero tome el gradiente de la función:

ps

Equivale$$\nabla{f(x,y)}=\langle{y,x}\rangle$ cuando$\vec{0}$ y$x=0$, haciendo que$y=0$ sea el único punto crítico en la función (también se encuentra dentro del intervalo). Compárelo con los puntos críticos que encontró en el límite para encontrar el mínimo y el máximo.

Answer 3

Esto se puede resolver con bastante facilidad mediante métodos elementales sin usar cálculo.

Por desigualdad AM-GM,$$x^2+2y^2\geq 2(x^2\cdot 2y^2)^{1/2}=2\sqrt{2} xy$$ Hence we have $ 2 \ sqrt {2} xy \ leq 1$, that is $ xy \ leq1 / 2 \ sqrt {2}$. Also note that the equality is achieved at $ x = 1 / \ sqrt {2}$ and $ y = 1/2 $.

Para la otra desigualdad, tenga en cuenta que$$1\geq x^2+2y^2=(x+\sqrt{2}y)^2-2\sqrt{2}xy\geq -2\sqrt{2} xy$$ Hence we have $ xy \ geq -1/2 \ sqrt {2}$ and the equality is a achieved at $ x = 1 / \ sqrt {2}$ and $ y = - 1 / 2. $