¿Qué es dominio de$f(x)=(-1)^x$

Question

¿Cuál es exactamente el dominio del$$f(x)=(-1)^x$ $

Porque si$x=\pm0.5$ o$x=\pm0.25$ etc. obtenemos números imaginarios.

Pero si tomamos$x=\pm\frac{1}{3}$ obtenemos un número real, entonces, ¿cómo definir su dominio?

¿Lo restringimos solo a números enteros?

Answer 1

No hay ningún problema en definir una función más de los números racionales que pueden ser representados con un denominador impar. Sin embargo, tal función no obedecer las reglas estándar para las exponenciales: $$ (-1)^{1/3}=-1 $$ pero, por otro lado, $$ ((-1)^{2/1})^{1/6}=1 $$

La utilidad de esta función no está claro.

Sin embargo, usted puede definir como una función de varios valores sobre los números complejos, utilizando el hecho de que $-1=e^{i\pi+2ki\pi}$ ($k$ cualquier entero) $$ (-1)^x=e^{(2k+1)ix\pi} $$ Tenga en cuenta que, en general, esta tendrá un número infinito de valores, a menos que $x$ es racional. Si $x$ es racional y $x=a/b$, con un extraño $b$, sólo uno de los valores será real y, por el contrario, si uno de los valores es real, entonces la $x$ es racional y $x=a/b$ con extraña $b$. (El ejercicio en números complejos.)