¿Cómo puedo obtener una n-dimensional de la matriz de rotación desde una perspectiva geométrica? He leído en la wikipedia que conserva la distancia, de modo que $Q^TQ = I$ pero la explicación para ser honesto, no es muy claro. He tenido un profundo vistazo en Google y no encuentro una explicación decente que comienza a partir de la geometría de la primera. También, en la Wikipedia (ver aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix) se dice que $det(Q) = 1$ pero no está claro por qué! Gracias.
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Supongamos $Q$ $n\times n$ matriz que conserva la distancia. De forma heurística, que significaría que $$ \Vert Qx-Qt \Vert = \Vert x - y \Vert $$ para todos los $n$-vectores $x$$y$. Ahora si utiliza la polarización de la identidad $$ \left<x,y\right> = \frac{1}{4}\left(\Vert x+y \Vert^2 - \Vert x-y\Vert^2\right) $$ usted puede demostrar que la preservación de las distancias es equivalente a la preservación del producto interior. Por lo $Q$ preserva distancias si y sólo si $$ \left<Qx,Qy\right> = \left<x,y\right> $$ para todos los $x$$y$. Utilizando la definición de la propiedad de la transposición, se puede mover a través de: $$ \left<Qx,Qy\right> = \left<x,y\right> \implica \left<x,Q^TQy\right> = \left<x,y\right> $$ para todos los $x$$y$. De esto se deduce que $Q^TQ = I$. Un buen consecuencia es que si el tratamiento de las columnas de a $Q$ como vectores, forman un othonormal conjunto: cada uno tiene unidad de longitud, y cada pareja son ortogonales (perpendiculares).
Ahora utilizando el factor determinante de las propiedades, usted tiene que $\det Q^2 = \det I = 1$. Por lo $\det Q = \pm 1$.
Pero todo esto viene desde la distancia-la preservación de la propiedad de $Q$. Si consideras $\mathbb{R}^n$ orientado espacio vectorial, se puede determinar si la distancia-la preservación de las matrices de preservar o revertir la orientación. La condición de la preservación de la orientación es equivalente a el determinante de a$Q$$1$.
