Probabilidad específica de 4 números (1-3000) que ocurren en una muestra de 400

Question

Cómo calcular la probabilidad de que cuatro específicos, distintos de los números en el rango de 1 - 3000 ocurrir al menos una vez en una muestra fija de 400 números aleatorios en el rango de 1-3000? Los números en la muestra se puede repetir ya que se generan aleatoriamente.

Mi intuición sería que es, básicamente, un conjunto de cuatro "exploraciones" de los 400 números, por lo que la probabilidad de acertar la 1/3000 buscó el número en cada uno de los análisis es de aproximadamente 400/3000 = 2/15. Esto daría el total de la probabilidad de contar como (2/15)x(2/15)x(2/15)x(2/15) = 16/50625 = 0,000316. Sin embargo, no estoy seguro de si esto representa (y si debe de la cuenta) por el hecho de que es una muestra fija de modo que no se trata de "re-rodó" para cada uno de los cuatro exámenes.

Gracias por cualquier consejo.

Answer 1

El uso de la inclusión/exclusión de principio:

• Incluir el número de combinaciones con al menos $\color\red0$ valores perdidos: $\binom{4}{\color\red0}\cdot(3000-\color\red0)^{400}$
• Excluir el número de combinaciones con al menos $\color\red1$ valores perdidos: $\binom{4}{\color\red1}\cdot(3000-\color\red1)^{400}$
• Incluir el número de combinaciones con al menos $\color\red2$ valores perdidos: $\binom{4}{\color\red2}\cdot(3000-\color\red2)^{400}$
• Excluir el número de combinaciones con al menos $\color\red3$ valores perdidos: $\binom{4}{\color\red3}\cdot(3000-\color\red3)^{400}$
• Incluir el número de combinaciones con al menos $\color\red4$ valores perdidos: $\binom{4}{\color\red4}\cdot(3000-\color\red4)^{400}$

Finalmente, se dividen por el número total de combinaciones, que es $3000^{400}$:

$$\frac{\sum\limits_{n=0}^{4}(-1)^n\cdot\binom{4}{n}\cdot(3000-n)^{400}}{3000^{400}}\approx0.000239$$

Answer 2

Etiqueta el número de $4$ y % que $E_{i}$denotan el caso de que el número con la etiqueta $i\in\left{ 1,2,3,4\right} $ hace no ocurren en la muestra.

Luego buscas $\Pr\left(E{1}^{c}\cap E{2}^{c}\cap E{3}^{c}\cap E{4}^{c}\right)=1-\Pr\left(E{1}\cup E{2}\cup E{3}\cup E{4}\right)$.

Inclusión/exclusión y simetría nos encontramos con que esto es igual a:

$$1-4\Pr\left(E{1}\right)+6\Pr\left(E{1}\cap E{2}\right)-4\Pr\left(E{1}\cap E{2}\cap E{3}\right)+\Pr\left(E{1}\cap E{2}\cap E{3}\cap E{4}\right)$$

¿Lo puede tomar desde aquí?