Interpolación entre los logaritmos iteradas

Question

Estoy investigando la familia de funciones $$\log_{(n)}(x):=\log\circ \cdots \circ \log(x)

¿Hay una función de interpolación lisa conocido $H(\alpha, x)$ tal que $H(n,x)=\log_{(n)}(x)$ $n\in\mathbb{N}$?

Answer 1

Su función $H(\alpha,x)$ es lo mismo que $\exp^{-\alpha}(x)$ en la notación de la wikipedia, y como tal ha sido ampliamente estudiado. Son dos buenas fuentes de la Citizendium página y también este gran papel por Dmitri Kouznetsov, cuyos resultados he conseguido reproducir.

D. Kouznetsov (Julio De 2009). "La solución de $F(z+1)=\exp(F(z))$ en el complejo en el plano z". Las matemáticas de la Computación 78 (267): 1647-1670.

La función de estudios es $F(-\alpha)=H(\alpha,1)$ en su notación. Por otra parte, $H(\alpha,x)$ diferentes $x$ están cambiado las versiones de cada uno de los otros, en el sentido de que $H(\alpha,y)=H(\beta+\alpha,1)$ algunos $\beta$ depende de $y$. Esto es porque si hay algo de $\beta$ tal que $H(0,y)=H(\beta,1)$, entonces si yo defino $H'(\alpha)=H(\beta+\alpha,1)$,$H'(0)=H(0,y)$$H'(\alpha+1)=\log H'(\alpha)$, lo $H'$ satisface la misma las ecuaciones funcionales como $H$ y por lo tanto es la misma función (suponiendo que la traducción adicional-invariante de la regularidad de las propiedades, lo que significa que analiticidad y un asintótica forma como $\alpha\to i\infty$, ver Kouznetsov del papel para obtener más detalles).

Sobre los reales, el hecho de que $H(0,y)=H(\beta,1)$ tiene una solución para cualquier $y$ se deduce del hecho de que el rango de $H(\beta,1)$ $\beta\in(-2,\infty)$ es de ${\Bbb R}$, ya que el $\lim_{\beta\to-2}H(\beta,1)=-\infty$$\lim_{\beta\to\infty}H(\beta,1)=\infty$. Sobre los complejos, se sigue de Picard a poco teorema, ya que $H$ no es constante.