¿Bajo qué condiciones $(X,\tau)$ acepta una medida finita?

Question

¿Bajo qué condiciones podemos garantizar que un espacio topológico $(X,\tau)$ aceptar una medida finita?

¿Por ejemplo, si el % de espacio $X$es Housdorff compacto o compacto entonces puede encontrar una medida finita en $X$?

Answer 1

Siempre se puede obtener un número finito de medida en $X$ por elegir tu favorito $p \in X$ y la definición de $\mu(E) = 1 \iff p \in E$ $\mu(E)=0$ lo contrario.

Nota esta medida no tiene nada que ver con la topología en $X$ desde $\mu$ se define por tanto Borel y no subconjuntos de Borel.

En caso de que esta medida no es el tipo de cosa que usted está buscando, usted debe poner algunas restricciones sobre la medida. Por ejemplo, $\mu(U) > 0$ para abrir todas las $U \subset X$. Un tipo de espacio de este reglamento fuera es nada con una familia de una cantidad no numerable de pares distintos bloques abiertos. Ver esta respuesta.

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Edit: Por métrico compacto $X$ podemos definir la medida de Hausdorff.

$\displaystyle \mu_\delta(E) = \Big \{ \sum \text{diam} \ U_n \ \big \vert \ E \subset \bigcup U_n \text{ and all diam} U_n < \delta\Big \}$

$\mu(E) = \inf \big \{\displaystyle \mu_\delta(E) : \delta > 0 \big \}$.

No debe ser demasiado duro para mostrar cada conjunto abierto tiene un valor distinto de cero de la medida, y la medida de todo el espacio puede estar acotada arriba por alguna fórmula que involucra el diámetro de $X$ que es finito por la compacidad.

Para $X$ no métrico, pero simplemente Hausdorff no podemos hacer esto. Por ejemplo, considere el punto de compactification $D^*$ de un espacio discreto $A$ de multitud de cardinalidad. En el caso de cada una de las $\mu( \{a\}) > 0$ un argumento similar a la liga de respuesta conlleva $\mu(D^*) = \infty$.

Answer 2

Finito medidas de existir siempre, en cualquier conjunto. La mayoría de las veces por lo menos que la de los conjuntos de Borel medible tener cualquier topología de medida de la conexión.

Hay una considerable teoría topológica de la teoría de la medida (ver Fremlin del libro, la parte 4 de 5 volúmenes de teoría de la medida ... en general) acerca de estos temas. Hay una gran cantidad de interacción entre las medidas de ciertos tipos ((interior/exterior) regular, estrictamente positivo, etc.) y varias propiedades topológicas.

Así por ejemplo, si desea una estrictamente positivo Borel ($\sigma$)-finito medida (es decir, $\mu(U) > 0$ para todos los abiertos no vacíos de a $U$), esto significa que el espacio debe ser ccc (cada familia de pares disjuntos no vacíos abrir los conjuntos es en la mayoría de los contables), pero no creo que todos los ccc espacio necesariamente admite tal medida, sino un espacio no separable (tomar un sumas ponderadas de las medidas puntuales en un subconjunto denso).

Topológicos, grupos tienen una medida de Haar (no siempre finito, creo que la compacidad es suficiente para obtener la finitud), etc.