El problema es que el % de cono $ z^2= x^2+y^2$no es un múltiple liso inmerso en $\mathbb{R}^3$.
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Xetius
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Consideremos el espacio vectorial generado por los vectores de velocidad en $0$ de todas las curvas que pasa por el origen: es de dimensión $3$. Si el cono fuera una subvariedad inmerso, su dimensión debe ser por lo tanto $3$ y entonces tendría que tener un interior no vacío.
(Esta es la idea de una prueba: realmente debe probar cada declaración que hice!)
wawawawa
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Recordemos que una función $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R^3$ se llama una inmersión si $f$ es diferenciable y el derivado $Df$ es inyectiva en cada punto de $\mathbb R^2$. Entonces hay un par de problemas, siendo el primero que $z$ no es una función de $x$ $y$ (tiene dos valores, $-\sqrt{(x^2 + y^2)}$$\sqrt{(x^2 + y^2)}$). Ajuste esto a un lado, usted puede tomar la "mitad superior" del cono $$z = \sqrt{(x^2 + y^2)}$$
así que ahora $z$ es una función de $x$$y$, sin embargo esta no es una inmersión desde $Dz$ no está definido en el punto de $(0,0)$. Una forma de ver esto es por la redacción de la definición (con un límite) de $Dz$ y mostrando que el límite no existe. Sin embargo, es más fácil ver esta geométricamente. Usted puede hacer un modelo de papel: cortar un disco con algunas hojas de papel, a continuación, cortar una cuña ("pizza slice") desde el disco. A continuación, tome el disco con las rodajas de quita y pegamento a lo largo de los bordes donde cortar la cuña. Usted ha construido la imagen de la función $z$, y usted puede ver que tiene una singular nonsmooth punto, siendo el vértice del cono.
