¿Nadie puede explicar cómo se transforman estos logaritmos?

Question

Estoy aprendiendo para mi examen de algoritmos y yo no puedo derivar dos transformaciones de logaritmo:

1. $ 3^{log{4}(n)}=n^{log{4}(3)} $
2. $ log{3}(n)=log{3}(e)*ln(n) $

No soy muy fuerte en logaritmos, alguien puede explicar ¿cómo obtener en ambos casos desde el lado izquierdo de la ecuación hacia el lado derecho?

Lo siento si la terminología está mal, yo soy de Alemania.

Answer 1

% De uso $\log _a b = \frac{{\ln b}}{{\ln a}}$y $e^{\ln x} = x$: $$ 3 ^ {\log _4 n} = (e ^ {\ln 3}) ^ {^ {\ln n/\ln 4}} = e ^ {\ln 3\ln n/\ln 4} = (e ^ {\ln n}) ^ {\ln 3/\ln 4} = n ^ {\ln 3/\ln 4} = n ^ {\log _4 3}, $$ $$ \log _3 n = \frac{{\ln n}} {{\ln 3}} = \frac{1}{{\ln 3}} \ln n = \frac{{\ln e}} {{\ln 3}} \ln n = n de \ln (\log _3 e). $$

Answer 2

Para el primero: Recuerda que para cualquier número $a$, $4^{\log_4(a)}=a$. También, $(a^b)^c=a^{bc}$.

Esto nos da: $3^{\log_4(n)}=(4^{\log_4(3)})^{\log_4(n)}=4^{\log_4(3)\times\log_4(n)}$.

Del mismo modo, $n^{\log_4(3)}=(4^{\log_4(n)})^{\log_4(3)}=4^{\log_4(n)\times\log_4(3)}$.

Por último, desde el $ab=ba$ para cualquier número $a,b$, esto nos da el resultado.

Para el segundo, es suficiente para comprobar que el $3^{\log_3(e)\times\ln(n)}=n$, debido a que (por definición) el único número $a$ tal que $3^a=n$$a=\log_3(n)$.

Ahora: $3^{\log_3(e)\times\ln(n)}=(3^{\log_3(e)})^{\ln(n)}=e^{\ln(n)}=n$, recordando que el $\ln$ es una abreviatura para $\log_e$.

Normalmente, esto se presenta de una manera más abreviada, como un cambio de base de la fórmula, diciendo que $$\log_a(b)/\log_a(c)=\log_c(b)$$ for any positive numbers $a,b,c$. Esta fórmula puede ser demostrado en exactamente la misma manera como lo hemos comprobado la segunda de las transformaciones que le pidieron.

Answer 3

Permítanme dar algunos puntos de la estrategia con estos problemas que creo que ayudarán.

Una regla que es la igualdad $log_b(c^p) = p \cdot \log_b(c)$.

Debido a la segunda pregunta está pidiendo en una igualdad con multiplicación, puede tratar de sustituir $b = 3$, $c = e$ y $p = ln(n)$ para obtener:

$log_3(e^{ln(n)}) = ln(n) \cdot \log_3(e)$ y simplifica la $e^{ln(n)}$ $n$ por lo que eres bueno.

En el primer problema, desea cambiar ese $3$ $4$ porque sabes que $4^{log_4(n)} = n$. Así desea $4^m = 3$ % que $m = log_4(3)$. Expresando el $3^{log_4(n)} = (4^{log_4(3)})^{log_4(n)} = (4^{log_4(n)})^{log_4(3)} = n^{log_4(3)}$.

Answer 4

<ol> <li><p>Uso $\rm\ x = 4^{\:\ell\ x}\ \ $ $\rm\ \ (4^{\:\ell\ 3})^{\:\ell\ n}\ =\ (4^{\:\ell\ n})^{\:\ell\ 3}\quad$ donde $\rm\quad \ell\ x\ :=\ log_{\:4}\ x$</p></li> <li><p>Utilizar $\rm\ n = e^{ln\ n}\:,\ \ $tomar $\rm\ log_{\:3}\ $ de ella</p></li> </ol> <p>Ver también las preguntas anteriores estrechamente relacionadas <a href="http://math.stackexchange.com/questions/5788/simple-dumb-logarithmic-conversion-question/5794#5794">aquí</a> y <a href="http://math.stackexchange.com/questions/11458/if-x-log-12-27-text-then-what-is-the-the-value-of-log-6-16/11463#11463">aquí.</a></p>