Lo siento por la pregunta larga! Gracias por tomarse el tiempo de leer la pregunta y sus respuestas!
Contexto: Vamos a $B_n\sim\text{Binomial(n,p)}$ el número de éxitos en $n$ ensayos de Bernoulli de probabilidad $p\in(0,1)$. Vamos $$\tilde B_n=\frac{B_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$$ be the standardized random variable and let $N\sim\text{N}(0,1)$ have the standardized normal distribution. Let $\epsilon_n(x)$ be the error between the cumulative distribution function of $\tilde B_n$ and $N$, i.e. $$\epsilon_n(x) = \left|\mathcal P(\tilde B_n \le x)-\mathcal P(N \le x)\right|$$
El Teorema del límite central muestra, que $\lim_{n\to\infty} \epsilon_n = 0$ (uniforme en $x$). Haciendo cálculos numéricos puedo obtener siempre el resultado, que el supremum de $\epsilon_n$ es alcanzado por $x\in[-1,1]$ (ver abajo).
Mi pregunta: ¿hay una prueba, de que el máximo error de $\epsilon_n(x) = \left|\mathcal P(\tilde B_n \le x)-\mathcal P(N \le x)\right|$ es siempre se alcanza en el intervalo de $x\in[-1;1]$, es decir, que el punto de $x$ donde $\left|\mathcal P(\tilde B_n \le x)-\mathcal P(N \le x)\right|$ es máxima cumple $-1\le x\le 1$? ¿Es esto cierto?
Algunos diagramas: Aquí es un gráfico de $f(x)=\mathcal P(\tilde B_n \le x)-\mathcal P(N \le x)$$p=0.336$$n=762$:
Aquí es un gráfico que muestra la posición del máximo de error, yo.e el punto de $x$ donde $\epsilon_n(x)$ es máxima. En el eje x es el valor de $p\in(0,1)$. El eje y muestra el punto de $x$ donde $\epsilon_n(x)$ es máxima en el cálculo:
Usted puede ver que el máximo error está siempre alcanzada por $-1\le x \le 1$.
Nota: yo sé, que debido a $\mathcal P(\tilde B_n \le x)$ tiene pasos, la función de $\epsilon_n$ no es continua y por lo tanto $\sup_{x\in\mathbb R}\epsilon_n(x)$ no puede ser alcanzado. Pero como se puede ver en el diagrama de la preimagen de un suficientemente pequeño barrio de $\sup_{x\in\mathbb R}\epsilon_n(x)$ se encuentra en $[-1;1]$...
Esta pregunta también está relacionado con mi pregunta de seguimiento aproximación Normal de la cola de probabilidad de distribución binomial (que describe mis motivaciones detrás de esta pregunta).
