Operaciones sobre las formas de álgebra valorada de mentira en un paquete principal

Question

Estoy tratando de entender algunas de Yang-Mills y Chern-Simons teoría, pero me estoy poniendo disparado por algunas de las matemáticas.

Estoy confundido sobre el exterior de la derivada covariante de la Mentira álgebra valores de k-formas en que un director paquete P. En particular, entiendo que la derivación se hace en la sección 2.2.2 de https://empg.maths.ed.ac.uk/Activities/GT/Lect2.pdfpero estoy fallando para generalizar a k-formas (Ejercicio 2.5 de la sección de la misma) y entender el caso, donde V es el álgebra de Lie G , donde la cuña es reemplazado por un colector.

También, parece ser que hay diferentes convenios(?) para el coeficiente de en frente del segundo término del exterior de la derivada covariante. A veces, veo un factor de 1/2 (por ejemplo, en la sección 3.2.2 de https://empg.maths.ed.ac.uk/Activities/GT/Lect3.pdf) y en otros lugares sin ella. Yo creo a mi entender tiene que ver con los conmutadores y la cuña de productos de la Mentira álgebra valorado las formas, pero puedo estar equivocado. Podría alguien explicar y quizás identificar mi malentendidos?

(He mirado en Nakahara, pero su sección sobre conexiones en un principal paquete no estaba a la dirección de mi pregunta.)

EDIT: creo que he conseguido reducir mi confusión. En el primer conjunto de notas (clase 2), se deriva una ecuación para el exterior de la derivada covariante de la forma de conexión (proposición 2.1), así como el exterior de la derivada covariante de un vector de valores de la forma (ejercicio 2.5). Mi entendimiento es que el resultado de la propuesta 2.1 debe ser un caso especial de ejercicio 2.5, con la Mentira de álgebra de acción de la conjugación (conmutador), pero hay un factor de 1/2 en la antigua. Puede alguien explicar este punto a mí?

Answer 1

Hay dos formas razonables de la definición de la cuña producto de las formas. Una es decir que $$\alpha\wedge\beta(X,Y) = \frac{1}{2}\left(\alpha(X)\beta(Y) - \alpha(Y)\beta(X)\right)$$ mientras que el otro no incluir este factor de $\frac{1}{2}$ $$\alpha\wedge\beta(X,Y) = \alpha(X)\beta(Y) - \alpha(Y)\beta(X).$$ Aquí, $\alpha$ $\beta$ son de 1-formas y $X$ $Y$ son campos vectoriales. Parece que estas notas son el uso de la antigua convención cuando el "$\wedge$" está explícitamente escrito (para que $$ (\rho(\omega)\wedge\omega)(X,Y) = \frac{1}{2}\left([\omega(X),\omega(Y)] - [\omega(Y),\omega(X)]\right) = [\omega(X),\omega(Y)] $$ en el ejercicio 2.5), mientras que poner el $\frac{1}{2}$ manualmente en la notación de la proposición 2.1 $$ \frac{1}{2}[\omega,\omega](X,Y) = \frac{1}{2}\left([\omega(X),\omega(Y)] - [\omega(Y),\omega(X)]\right) = [\omega(X),\omega(Y)]. $$ Una posible motivación de este convenio es que, debido a la anti-simetría, tanto de la cuña del producto y de la Mentira de soporte, la combinación de los dos en realidad es simétrica: $$[\alpha,\beta] = [\beta,\alpha]$$ donde $\alpha$ $\beta$ son ambos se encuentran álgebra valores de las formas en $P$. Muchas veces cuando nos conectamos con el mismo argumento que en ambas ranuras de un simétrica operación de este tipo es conveniente tener el factor de $\frac{1}{2}$, por diversas razones. Posiblemente la notación es la que hay que destacar a este tipo de comportamiento de la "soporte y la cuña de la operación".

Una última cosa: no es estrictamente cierto que la 2.1 es un caso especial de 2.5 ya que la derivada covariante como se define sólo está pensada para ser aplicada a las formas básicas (que son, en particular, horizontal), mientras que $\omega$ es como lejos de ser horizontal como sea posible ($h^*\omega = 0$). Cuando el tratamiento de todo como las formas en $P$, estos detalles realmente no importa, pero si usted desea asociar las formas básicas con ciertas formas en el colector (ver 2.2.1), a continuación, las dos ecuaciones que mencionas son cosas muy diferentes. Es importante para la historia de que la conexión de una forma $\omega$ no puede ser pensada como cualquier tipo de forma global en $M$. En su lugar, se transforma como una conexión en caso de que (esto se menciona en la lección 1 de esta serie).